표준편차 시그마 계산 - pyojunpyeoncha sigeuma gyesan

★ 시스마수준 산출 방법

● 계량치 데이터의 경우

프로세스에서 얻어지는 데이터가 계량치인 경우에는 평균과 표준편차의 값을 추정하여 시그마준을 구함. 즉

▷ 단기 데이타의 경우
   시스마수준 = (SU-SL)/(2ρ) 또는 (SU-μ)/σ
              = Cp × 3
▷ 중심이 1.5시그마 이동의 경우(데이타가 장기수집된 경우)
    시그마수준 = Cpk × 3
               = (Cp×3) + 1.5
※ 참고 : μ추정값 = 데이터의 평균값(Xbar)
          σ추정값 = 분산V의 제곱근(RootV)임.   여기서 분산 V = S/(n-1)

● 계수치 데이터의 경우

계수치 데이터인 경우, 수율을 환산하고 정규분포를 사용하여 시스마수준을 산출함.
검사결과를 적·부적합으로 경우에 적합으로 판정되는 양호품율을 y라고 하면,
시그마수준 Z=Φ-1(y) 로 얻어짐.
여기서 Φ는 표준정규분포의 누적분포함수임.즉, 누적분포함수 y=Φ(z)

만약 여기서 구한 y값이 오랜기간에 걸쳐 수집된 데이터에 의하여 구한 값이라면,
단기적측면의 시스마수준은 Zs = Z +15로 계산됨.
※ 장기적 테이타의 경우 평균이 1.5ρ흔들린다고 가정함.

(1) DPU(Defect per Unit)가 사용되는 경우

어떤 코팅공정에서 장기간에 걸쳐 조사한 결과 500개의 제품중 5개의 제품에서 필홀 결함의 불량이 발생함. 이에 대한 시그마수준은?

☞ 산출 순서 및 결과
① DPU 계산
DPU = 5/500 = 0.01

      ② 수율계산
          수율 y= e-0.01 = 0.99005
    ③ 장기간 데이터에서 시그마수순 Z 계산
          Z=Φ-1(0.99005) = 2.33
    ④ 단기 시그마 수준 Zs 계산
          Zs = Z + 1.5 = 2.33 + 1.5 = 2.33
          즉, 구하고자 하는 시그마수준은 "2.33"임

(2) DPO(Defect per Opertunity)가 사용되는 경우

어떤 프로세스에서 생산되는 부품의 규격을 만족시키지 못하는 기회는 10가지 인데, 이 부품 500단위를 생산하는 동안 총 5,000 기회 중 1,000기회를 검사하여 20개(기회)가 결함임을 발견하였다. 이때 시스마 수준은

☞ 산출 순서 및 결과
① DPO 계산
DPO = 20/1,000 = 0.02

       ② DPU 계산
           DPU = DPO × 단위당 기회수 = 0.02 ×10 = 0.2
     ③ 수율 y 계산
         y = e-0.2 = 0.8187
     ④ 장기데이터에서 시스마 수준 Z 계산
           Z=Φ-1(0.9187) = 0.91
      ⑤ 단기시그마 수준 Zs 계산
           Zs = Z + 1.5 = 0.91 + 1.5 = 2.41
         즉, 구하고자 하는 시그마 수준은 "2.41"임

(3) 불량률이 사용되는 경우

100개의 제품을 조사한 결과 1개가 불량인 경우에 시그마 수준은?

☞ 산출 순서 및 결과
① 불량률 계산

           불량률 p = r/n =1/100 =0.01
       ② 수율 y=1-p = 1-0.01 = 0.99
       ③ 장기데이터에서 시스마 수준 Z
           Z=Φ-1(0.99) = 2.33
       ④ 단기시그마 수준 Zs 계산
           Zs = Z + 1.5 = 2.33 + 1.5 = 3.83
           즉, 구하고자 하는 시그마 수준은 "3.83"임

(4) 누적수율 RTY(Roolled Throughput Yield)가 사용되는 경우

A, B, C 3개 공정으로 연결되어 있는 생산라인이 있다. 각 공정의 수율이 A공정은 0.98, B공정은 0.95, C공정은 0.96이다. 이 라인의 시스마 수준은?

☞ 산출 순서 및 결과
     ① 누적수율 RTY 계산
           누적수율 RTY = y1 × y2 × … × yk =0.98 × 0.95 × 0.96 = 0.89376
       ② 장기간 데이터에서 시그마수순 Z 계산
          Z=Φ-1(0.89376) = 1.25
       ③ 단기 시그마 수준 Zs 계산
          Zs = Z + 1.5 = 1.25 + 1.5 = 2.75
           즉, 구하고자 하는 시그마수준은 "2.75"임
      ※ 참고 : 각공정의 시그마 수준은 산출결과 A 3.55, B 3.14, C공정 3.15 이며,
           전체공정의 시그마수준은 2.75로 각 공정의 시스마수준보다 크게 낮아짐.

6 시그마와 3.4 ppm의 통계적 의미에 대해서 알아보자.

6 시그마(Six Sigma)를 정확하게 이해하기 위해서는 우리가 일반적으로 알고 있는 시그마(σ, Sigma)와 구분하여 이해할 필요가 있습니다.

먼저 시그마(Sigma, σ)는 산포를 나타내는 통계학적 용어로 표준편차를 의미합니다.

여기서 산포(Dispersion)란 변동의 정도를 의미하며, 표준편차(Standard Deviation)는 데이터들이 중심으로부터 떨어져 있는 정도를 나타내는 단위입니다.

우리가 관심이 있는 대상이 확률분포가 정규분포를 따른다고 가정하면 시그마(σ)의 기하학적인 의미는 아래의 그림과 같습니다.

예를 들어 길이가 1㎝ 인 부품을 생산할 경우 생산되는 부품의 길이는 모두 똑같을 수는 없을 것입니다.

실제 길이를 측정해보면 0.99㎝, 1.017㎝, 0.984㎝ 등과 같이 변동이 있을 수밖에 없습니다. 이러한 변동을 통계학에서는 산포라는 의미로 접근하고 표준편차를 사용하여 산포의 크기를 나타내며 이때 사용하는 표준편차의 단위가 시그마(σ)입니다.

시그마(σ, Sigma)는 0보다 큰 양의 값으로 정의되며 그 값이 클수록 관심 대상의 산포가 크다는 것을 의미합니다.

조금 확장해보면 정규분포는 평균을 중심으로 좌우대칭이고 종 모양이며 1 σ 에서 변곡점이 있습니다.

다음은 관심 대상이 구간별 범위 내에 포함될 확률입니다.

그림과 같이 모평균(μ)을 중심으로 ±1 σ 내에 속할 확률은 68.3%, ±2 σ 내에 속할 확률은 95.4%, ±3 σ 내에 속할 확률은 99.7%입니다.

이를 계속 확장해보면 다음과 같으며 해당 범위를 벗어날 가능성을 ppm으로 나타내었습니다.

이글의 제목에서는 6 시그마(Sigma)는 3.4 ppm이라고 하였는데 위의 표에서는 0.002 ppm이라고 되어있습니다.

서두에 이야기하였듯이 6 시그마(Six Sigma)를 지금까지 설명했던 산포의 시그마(Sigma)와 구분이 필요합니다. 여기서 추가될 개념이 시그마(Sigma) 수준입니다.

시그마 수준(Sigma Level)은 산포의 개념과는 달리 공정 또는 프로세스의 능력을 판단하는 척도가 됩니다.

프로세스 능력(Process Capability)은 프로세스가 얼마나 적합한 결과를 제공하는가를 의미합니다.

따라서 얼마나 적합한가에 대한 합격 여부를 판정할 수 있는 목표(Target) 값과 규격(Speccification) 상한, 규격 하한이 필요하게 됩니다.

다시 위에서 사용하였던 예를 생각해봅시다.

부품의 길이가 1㎝이고 규격 한계 값은 1 ± 0.05㎝라고 할 때 A 회사에서 생산한 부품들의 길이를 실제 측정하였을 때 부품 길이의 표준편차가 0.0083 σ(Sigma)이었다면 0.05 / 0.0083 = 6이 되어 불량률 또는 수율(Yield)이 6 시그마 수준이 되는 것입니다.

만약 B 회사에서 생산한 부품의 표준편차가 0.025라면 0.05 / 0.025 = 2가 되어 불량률 2 시그마 수준이 됩니다.

즉, 시그마(Sigma) 수준은 표준편차인 시그마 값과는 역의 관계에 있게 됩니다.

정리하면 부품의 산포가 클수록 규격 범위 내에 들어올 가능성을 나타내는 시그마 수준은 낮아지게 되고 부품의 불량률은 높아지게 됩니다.

3.4ppm의 통계적 의미를 파악하기 위한 마지막 단계로 이해해야 할 한 가지가 더 있습니다.

우리가 가정하는 확률 분포는 모집단의 특성치이지 우리가 관심을 가지고 있는 대상과 100% 일치하는 것은 아닙니다. 생산을 하다 보면 작업 환경 및 작업자의 숙련도, 설비 상태 등에 다양한 원인의 영향을 받을 수밖에 없고 생산하는 전체에 대해서 장시간에 걸쳐 전수 측정은 물리적으로 불가능합니다.

따라서 단기적인 측정을 통해 장기적인 프로세스의 수준을 파악하고자 시도하였고, 1980년대 미국의 제조 기업을 기준으로 분석한 결과 단기와 장기 시그마 수준이 약 1.5 σ 정도의 차이가 발생하는 것을 확인할 수 있었습니다.

그 이후 6 시그마에서는 단기와 장기의 중심이 1.5 σ 만큼 시프트(Shift)되는 것으로 가정하여 오늘날 보편적으로 사용하고 있습니다.

이처럼 장기, 단기에 대한 평균값 이동(1.5 σ)을 고려하지 않는다면 6 시그마(Sigma) 수준은 중심 값에서 6 σ 떨어진 곳에 규격 한계가 존재하게 되고 불량률(범위를 벗어날 가능성)은 0.002 ppm이 되지만, 1.5 σ의 평균 이동을 고려한다면 0.002ppm 보다 불량률이 높은 3.4 ppm이 되는 것입니다. (중심값에서 4.5σ 떨어진 곳에 규격 한계가 존재)

1.5 σ의 평균 이동을 고려하였을 경우 시그마 수준별로 불량률은 다음과 같습니다.