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이에 따라 등차수열 {an}\{a_n\}{an}의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은 수열의 귀납적 정의 문서를 참고하라.
꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공차가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등차수열의 일반항을 정할 수 있다. 3. 등차중항[편집]aaa, bbb, ccc가 등차수열의 연속한 세 항일 때, bbb를 aaa와 ccc의 등차중항이라고 한다.
곧, 등차수열의 연속한 세 항에서, 등차중항은 나머지 두 항의 산술평균이다. 예를 들어 등차수열 ana_nan에 대하여 a6a_6a6, a7a_7a7, a8a_8a8의 등차중항은 a7=(a6+a8)/2a_7={(a_6+a_8)}/2a7=(a6+a8)/2이다. 4. 함수로 해석하기[편집]등차수열은 함수로도 생각할 수 있는데, 등차수열 an=a+(n−1)da_n=a+(n-1)dan=a+(n−1)d에 대하여 좌표평면에 (n, an)(n,\, a_n)(n,an)을 나타내면 다음과 같다.
5. 성질[편집]등차수열 {an}\{a_n\}{an}과 음이 아닌 정수 mmm에 대하여
[문제] 등차수열 {an}\{a_{n}\}{an}이 a5+a7=14a_{5}+a_{7}=14a5+a7=14를 만족시킬 때, ∑k=111ak\displaystyle\sum_{k=1}^{11}a_kk=1∑11ak의 값을 구하시오. ∑k=111ak=(a1+a11)+(a2+a10)+(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6=11(a5+a7)2=77\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^{11} a_k&=(a_1+a_{11})+(a_2+a_{10})+(a_3+a_9)+(a_4+a_8)+(a_5+a_7)+a_6\\&=\dfrac{11(a_5+a_7)}2=77\end{aligned}k=1∑11ak=(a1+a11)+(a2+a10)+(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6=211(a5+a7)=77 6. 극한[편집]등차수열 an=a+(n−1)da_n=a+(n-1)dan=a+(n−1)d에 대하여 공차가 양수이면 등차수열의 항은 점점 커지고, 음수이면 점점 작아지며, 0이면 일정하므로 limn→∞an={∞ (d>0)a (d=0)−∞ (d<0)\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\begin{cases}\begin{aligned}&\infty\; &(d>0)\\&a\; &(d=0)\\-&\infty\; &(d<0)\end{aligned}\end{cases}n→∞liman=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧−∞a∞(d>0)(d=0)(d<0) 7. 등차수열의 합[편집]등차수열의 합은 첫 항과 마지막 항을 더한 뒤 항의 개수를 곱하고 2로 나눈 값인데, 그 이유는 다음과 같다. SnS_{n}Sn을 구할 때 첫째 항부터 nnn번째 항까지 차례대로 더하든지 역순으로 더하든지 상관이 없다. an=la_{n}=lan=l이라 하면, l=a+(n−1)dl=a+(n-1)dl=a+(n−1)d이므로 다음과 같이 쓸 수 있다. Sn=a+a+d+a+2d+⋯+a+(n−2)d+a+(n−1)d+Sn=l+l−d+l−2d+⋯+l−(n−2)d+l−(n−1)d2Sn=(a+l)+(a+l)+(a+l)+⋯+(a+l)+(a+l)=n(a+l)\begin{matrix}&S_{n}&=&a&+&a+d&+&a+2d&+&\cdots&+&a+(n-2)d&+&a+(n-1)d&\\ + & S_{n}&=&l&+&l-d&+&l-2d&+&\cdots&+&l-(n-2)d&+&l-(n-1)d&\\ \hline &2S_{n}&=&(a+l)&+&(a+l)&+&(a+l)&+&\cdots&+&(a+l)&+&(a+l) \\ & &=& n(a+l) \end{matrix}+SnSn2Sn====al(a+l)n(a+l)+++a+dl−d(a+l)+++a+2dl−2d(a+l)+++⋯⋯⋯+++a+(n−2)dl−(n−2)d(a+l)+++a+(n−1)dl−(n−1)d(a+l) SnS_{n}Sn에 대하여 정리하면,
각각 첫 항과 마지막 항을 뜻하는 aaa와 lll은 nnn에 관한 일차식이 되므로 SnS_nSn은 이차식이다. l=a+(n−1)dl=a+(n-1)dl=a+(n−1)d를 사용하면, 다음과 같이 쓸 수도 있다.
한편, 수열의 합 공식으로 유도하면 다음과 같다. Sn=∑k=1nak=∑k=1n{a+(k−1)d}=∑k=1n(dk−d+a)=n(n+1)2d+(a−d)n=12dn2+(a−12d)n=n{2a+(n−1)d}2=n(a+l)2\begin{aligned}S_n&=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a+(k-1)d\}\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^n (dk-d+a)\\&=\dfrac{n(n+1)}2d+(a-d)n\\&=\dfrac12dn^2+\left(a-\dfrac12d\right)n \\ &=\dfrac{n\{ 2a+(n-1)d \}}{2}\\&=\dfrac{n( a+l )}{2}\end{aligned}Sn=k=1∑nak=k=1∑n{a+(k−1)d}=k=1∑n(dk−d+a)=2n(n+1)d+(a−d)n=21dn2+(a−21d)n=2n{2a+(n−1)d}=2n(a+l) 7.1. 공식(합 → 일반항)[편집]여기에서 등차수열의 합에서 등차수열의 일반항을 구하는 유용한 공식이 나온다. an=Sn′−12da_n={S_n}'-\dfrac12dan=Sn′−21d 쉽게 말해 SnS_nSn을 미분한 뒤 SnS_nSn의 최고차항의 계수를 빼면 ana_nan이라는 것이다. 주의할 점은 SnS_nSn이 첫째 항부터 nnn번째 항까지 더한 값이며, 등차수열의 합이라는 것이다. SnS_nSn이 첫째 항부터 더한 값이 맞는지 확인해야 하며, 등차수열이 아닌 수열에는 이 공식이 적용되지 않는다. 또한, 엄밀히 말해 이는 미분이 아니다. 미분이란 본디 접선의 기울기를 구하는 계산인데, 이 공식은 그것과 아무 상관이 없기 때문이다. 다시 말해 우연히 미분과 계산이 비슷해진 것일 뿐, 미분의 메커니즘이 수열의 합과 결부되어 나타나는 공식은 결코 아니라는 말이다. 7.2. 함수로 해석하기[편집]등차수열의 합 역시 함수로 생각할 수 있는데,
에 대하여 좌표평면에 (n, Sn)(n, \, S_n)(n,Sn)을 나타내면 다음과 같다.  각 점의 nnn좌표는 몇 번째 항까지의 합인지를, SnS_nSn좌표는 합의 값을 나타낸다. 등차수열의 합은 이차식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 이차함수의 그래프 위에 있다. 이렇게 보면, 등차수열의 합은 자연수만을 정의역으로 하는 상수항이 0인 이차함수이다. 7.3. 제2항부터 등차수열인 경우[편집]앞서 밝혔듯이 등차수열 an=a+(n−1)d (ad≠0)a_n=a+(n-1)d\;(ad\neq 0)an=a+(n−1)d(ad=0)의 합은
이기 때문에 SnS_nSn은 상수항이 없는 이차식이다. 그렇다면 SnS_nSn이 상수항이 있는 이차식이면 어떨까?
Sn=n2+nS_n=n^2+nSn=n2+n a1(=S1)a_1(=S_1)a1(=S1) a2a_2a2 a3a_3a3 a4a_4a4 ⋯\cdots⋯ 2{\color{red} 2}2 444 666 888 ⋯\cdots⋯ Sn=n2+n+1S_n=n^2+n+{\color{red} 1}Sn=n2+n+1 a1(=S1)a_1(=S_1)a1(=S1) a2a_2a2 a3a_3a3 a4a_4a4 ⋯\cdots⋯ 3{\color{red} 3}3 444 666 888 ⋯\cdots⋯ ana_nan의 다른 모든 항은 같고 a1a_1a1만이 1의 차이가 나므로 SnS_nSn 역시 계속 1의 차이만 나게 된다. 7.4. 등차수열의 합의 최대·최소[편집]앞서 밝혔듯이 등차수열의 합 SnS_nSn은 이차식이므로, 최댓값 또는 최솟값이 존재한다. 일반적인 이차함수라면 무조건 최댓값 혹은 최솟값이 존재하지만, 등차수열의 합 SnS_nSn은 자연수만을 정의역으로 하는 함수로 간주해야 하기에 성격이 다른 점만 주의하면 된다.
8. 활용[편집]
를 의 번 문단을 의 부분을 참고하십시오.9. 기타[편집]
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등차수열 공차 구하기 - deungchasuyeol gongcha guhagi
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