유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang

일반물리학

솔레노이드가 만드는 자기장 비오-사바르 법칙으로 때려보자

안녕하세요, 설군입니다.

비오-사바르 법칙은 미소 전류가 만드는 미소 자기장을 생각해서, 전체적인 자기장을 미소 자기장의 적분으로 구하는 방법입니다.

솔레노이드는 원형 도선이 여러개 놓여있는것으로 생각가능하므로,

앞서 구해놓았던 원형 도선에 의한 자기장 공식을 이용해서 솔레노이드가 만드는 자기장을 구해보고

솔레노이드의 길이가 무한히 길고, 솔레노이드 내부 지점에서의 자기장도 구해봅시다.

솔레노이드를 그렸습니다.

솔레노이드의 첫 머리부분부터 구하고자 하는 지점까지의 거리를 d라고 놓았고

솔레노이드의 첫 머리부분을 원점O로 두고 솔레노이드의 꼬리를 -L지점으로 놓고요

0부터 -L까지 적분하면 됩니다.

고리 도선이 만드는 자기장은 여기를 참고하세요.

그런데 r에 d+x가 아니라 d-x를 대입해야한다는 점을 주의하세요

왜냐하면 x값은 음수이기때문에, 거리인 r을 나타내려면 d-x를 해주는것입니다.

이를테면 d가 5이고 x가 -3이면, 5-(-3)을 해줘야 8이라는 거리가 나오죠.

그래서 적분하면 위와같은 결과가 나옵니다.

이제 솔레노이드가 무한히 길고,

솔레노이드의 중앙에서의 자기장의 세기를 구해봅시다.

그러면 우리가 쉽게 알고 있는 솔레노이드 내부의 자기장인 뮤제로nI가 나옵니다.

 
유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang

2-5. ����� ��Ģ(�ڱ��� ����)

(Last Updated 2007/6/27)

1. ���������������, �������� �� �ַ����̵� ���Ͽ� ������ �带�� ���������� �ڱ����� ���⸦ �����Ͽ� �̷����� �ڱ��� ���� ��� ��ġ�ϴ°��� �˾ƺ��� ������� ��Ģ �� ���-��ٸ��� ��Ģ�� �����ϴ°��� Ȯ���Ѵ�.2. �� ��

(1) ��������

유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang

[�׸�1] ��������
[�׸�1]�� ���� ���������� ���� I �� �带�� ���� ������ ����� �ڱ��� B �� ����� ��Ģ�� ���� ��B.d�� = ��oI,  B(2��r) = ��oI 
 �׷��Ƿ� �������κ��� �Ÿ� r �Ǵ� ������ �ڱ�����  B(r) = ��oI / 2��r ---------(1) 
���⼭, ��0 = 4��10-7 (tesla��meter)/amp �̸� �������� ������(permeability) �̶��Ѵ�.

* �������� ������ �ڱ����� ���-��ٸ��� ��Ģ�� ���� ����ص� ���� ����� ������ ��������.

(2) ��������

유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang

[�׸�2] ��������
[�׸�2]�� ���� �ݰ� R �� ���������� ���� i �� �带��, �߽��� ���� ������ �� P ���� �ڱ����� ���� B�� ����� ����. ������� d���� ���� ���� dB �� ���-��ٸ��� ��Ģ�� ����
유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang
-------(2) 
 ���� d���� r �� �����̹Ƿ�
유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang

�̴�. ���� dB �� dBx �� dBy �� �������� ������ �ְ� dBy ������ ��Ī������ ���� ȯ�� ��ü�� ���� ���ϸ� 0 �� �� ���̴�. �׷��Ƿ� x�� ������ �ڱ��� ���и� �����ϸ�,

B =��dBx =��dB sin��


�׷��Ƿ� �� �Ŀ� ���� �� dB �� �����ϰ� sin��=R/r �� �����ϸ�
 

유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang
---------(3)


���������� �߽ɰ� ������ ��ŭ�� �Ÿ����� �ڱ����� ������ ����.
 

유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang


(3) �ַ����̵�

유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang

[�׸�3] �ַ����̵�
�ſ� �� �ַ����̵�(Solenoid) ���ο����� �ڱ����� ����� ��Ģ�� ���� (�������� ��������� ���� ������ ����)B = ��0nI -------(4)���� �־�����. ���⼭, ��0�� ������, I�� ����, n �� �ַ����̵��� �������� �� ������ ���� Ƚ��(turn/meter) �̴�.


�� �Ŀ��� ���� �ٿͰ��� �ڱ����� ����� ������ �ݰ��̳� ���ϳ����� ��ġ�� �������� �˼��ִ�.

�׷���, �츮�� �����ϰ��� �ϴ� �ַ����̵��� ���̴� ������ �����ϰ� �ַ����̵� ������ �ڱ��嵵 �������� �ʱ� ������ ������ �� �־���Ѵ�.
 

[�׸�4] ������ �ַ����̵�
유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang

(a)
유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang

(b)


[�׸�4]�� ���� �ַ����̵��� �߽���� ������ �� O ���� �ڱ����� �����
 

유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang
---------(5)


���� �־�����.
(
���-��ٸ��� ��Ģ�� �̿��Ͽ� ���� ������ ����)
���ǻ� �ַ����̵��� ���̸� ��, �߽��� �������� ������ �߽�(x=0; a=b=��/2)�� ����(x=��/2) ���� �ڱ����� �����
 

유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang


�� �ȴ�.
[����] ���� �츮�� ���迡 ����ϴ� �ַ����̵��� �ܸ鵵
유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang

[�׸�5] �ַ����̵� �ܸ鵵
������ ����(����)�� 0.27mm �̰� 7��, ���� �������� ���� �� 2900�� ���Ҵ�. ������ �ݰ� R �� �뷫 R1 , R2 �� ������� ��´�.
������ �����ϰ� ������ ������ �ణ�� �þ�� ���� �԰��� �ַ����̵� ����� ��ü ������ �ణ�� �޶����� �ִ�. ��, �Ȱ��� ������ �ɾ �������� �ణ�� ���̰� ���� ������ �������.

�츮�� �� ���迡�� ������ �帣�� ���� �� ��������, �ַ����̵� ������ �ڱ����� ��ȭ �׷����� ��ǻ�� �������̽��� �̿��Ͽ� ���� �������̴�. ȸ�������� �������� ������ �Ÿ����� �����ϰ� �ڱ��弾���� ����� Ȧ������ ���� �ڱ����� ���⿡ ����ϴ� ������ �߻���Ű�� �� ���а��� �ٽ� �ڱ��� ������ ȯ��ȴ�. -����, ���迡 ���� ������ �ڱ��� �׷����� �̷а���� ��ġ���� �ʴ´ٸ�  �̷��� ���迡 �°� �ٽ� �����Ǿ� �� ���̴�. Ȧ������ �����ΰ��� �����غ���.3. ���� �ⱸ (1) ��ǻ�� �� �������̽� ��ġ
(2)
�Ŀ�����(Power Amplifier)
(3) ������ġ(15V-7A), �ڵ弱
(4) ��������(����=40cm, ��������=4mm), ȯ�� 2��(������=4cm, 3cm, ����=2mm), ȯ���� �����
(5) �ַ����̵�(��ü ������=2900ȸ, ���ϱ���=0.27mm, 7��)
(6) �������̽�(2��), A���̽� �� ��������
(7)
�ڱ��弾��, Ȧ��
(8)
ȸ������, ��ϸ���
(9) ���弱 3��, ����
(10)
���Ͼ� Ķ����4. ������ 1) �������̽� �¾�
유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang

[�׸�6] ������ �¾�
�� �������̽��� �� ����, ��ǻ�͸� �Ҵ�.

�� �ڱ��弾���� �Ƴ��α� ä��A,

ȸ�������� ����Żä�� 1,2�� �����Ѵ�.�� ����Ÿ��Ʃ��� ���α׷��� �����ϰ� �Ƴ��α� ä��A �� �ڱ��� ������, ����Ż ä��1,2 ���� ȸ�������� �����Ѵ�.

�� ������ ����

a.ȸ������ �¾�: �������� ����Ŭ�� =>

Measurement ������ Position(m)�� ���� => Rotary Motion Sensor ������ 1440�� ���� �����Ѵ�.
b.�ڱ��弾�� �¾�: �������� ����Ŭ�� => Measurement ������ Magnetic Field Strength(100x) (gauss)�� ���õǵ��� �Ѵ�. �� �׷��������츦 ���� x-���� ȸ�������� ���� ��������(m), y-���� �ڱ��弾���� ���� �ڱ����� ũ��(gauss)�� ǥ���ϵ��� �Ѵ�.
[����] ���� ������ ���� ����� ����Ÿ �����쿡�� ������ ��� �࿡ ������ �ȴ�.*�ڱ��弾���� �Ʒ��� ���� �������� ����ġ�� ���� �� ������ �����Ҽ� ����.
 

[����] ���� ���� ����ġ
Gain Range Resolution Accuracy
1�� ��1000 gauss 0.5 gauss  100 gauss
10�� ��100 gauss 0.05 gauss 10 gauss
100�� ��10 gauss 0.050 gauss 1 gauss
 

[����] �ڱ��� ������ �Ŀ������� ������ �ʿ�� ����. �ڱ��� ������ ������ ���� �ܺ��� �ڱ����� ���⿡ ���������� ����Ͽ� �������� �߻��ϰ� �������̽��� �� ���а��� �ٽ� �ڱ��� ������ ȯ���Ͽ� ����Ÿ�� �����Ѵ�.  10 Gauss = 10 mV (1 Tesla = 104 Gauss)


(1) �������� ������ �ڱ��� ����

유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang

[�׸�7] �������� ������ �ڱ��� ����
�� ���� [�׸�7]�� ���� ��ġ�� ��ġ�Ѵ�. 2���� �������̽��� �̿��� ��������(40cm)�� ����� �������̽��� +, - �������ڸ� ���� �����Ѵ�. (�ʿ��ϴٸ� ����������� ����Ż�׽��͸� ���� �����Ѵ�)

�� Ȧ���� �̿��Ͽ� �ڱ��弾���� ��ϸ��븦 �����Ѵ�.

�� ���ĵ忡 ȸ�������� ������Ű�� ��ϸ��븦 ȸ�������� �Ŵ´�.

��

�ڱ��� ������ ���� �߰��κп��� ������ ������ �ǵ��� �����̸� �� ������ ����, ���ý���ġ�� ������ ����(Radial), 100x ���� �����Ѵ�. (������ ���볡�� �����ִ� 2���� ����(Ȧ���� ��ġ)���� �ڱ����� �о�� �����Ѵ�)


�� ����(�߽�)�� �ڱ��弾���� �������� ���� -�̶� ������ �߽����κ��� Ȧ���� ��ġ(����)������ �Ÿ��� �����Ͽ� ����д�- ��Ű�� ��� ��涧 5cm ������ �Ÿ����� �����ϼ� �ֵ��� �Ѵ�. ���۹�ư�� ������ ����(Tare)��ư�� ���� ���������Ѵ�. -��� �ڱ���(���� �Ǵ� ��Ÿ �ܺ� ���⿡ ���� �ڱ���)�� ���� ������ 0���� �������� ����(TARE)����- ����, ������ġ�� �Ѱ� �������� ���̾��� �ణ������ �������� ���̾��� ������ ������ 5A ���� �ø���.
 

[�� ��]
�� ���迡�� ������ġ�� �ſ� ���� ����(0.2~0.5V ����)���� ���� ������ ����ϹǷ� ������ġ�� ����(����)���� ���̾��� �׻� �������� ������ �������� ���¿��� ������ �����Ѵ�. 


�� ���α׷����� ����(Start) ��ư�� ���� ������ �����ϰ� ������ �¿�� �������� �ʵ��� ���ɽ����� �������� ���� ����.

�� ����Ϳ� ��Ÿ���� �׷����� ���� �� ��Ÿ�������� ������ �ݺ��ϰ� �����͸� �����Ѵ�. �Ÿ��� ���� �ڱ����� �׷����� ����� ��Ģ�� ��ġ�ϴ°�? �������κ��� �Ÿ��� 1cm, 2cm...5cm �϶� �ڱ����� ����ƮĿ���� ���ϰ� �̷а��� ���ϰ� ������ ���Ѵ�.

(ȸ�������� ó�����¸� ��ġ0 ���� �ν��ϹǷ� ������ �Ÿ��� ȯ�����ش�)
(2) �������� ������ �ڱ��� ����

유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang

[�׸�8] �������� ������ �ڱ��� ����
�� ���� [�׸�8]�� ���� ��ġ�� ��ġ�Ѵ�. �������̽� �߽ɿ� ȯ�������͸� ����� ���ʿ��� �������� (R = 4cm)��, ������ +, - �������ڸ� ���� �����Ѵ�. (�ʿ��ϴٸ� ����������� ����Ż�׽��͸� ���� �����Ѵ�)

�� ���������� �߽��࿡ �������� ���� ����(Ȧ���� �κ�)�� ��ġ�ϵ��� ��ġ�� �� ��´�. (�ʿ��ϴٸ� �� ���� ����Ͽ� �߽����� ��ġ��Ų��)

�� �ڱ��� ������ ���ý���ġ��

�����(Axial),100x ���� �����Ѵ�.

�� ���� ��ư�� ������ �ڱ��弾���� ����(Tare) ��ư�� ���� ���������Ѵ�. ������ġ�� �� ����,

������ ������ �������� 5A�� �����.


�� ȯ���� �߽ɿ� �ڱ��弾���� ���� ���� ��ư�� ��������, ������(4cm) ������ŭ �����̸� ������ �ڱ����� �����Ѵ�.

�� ��� �Ų����� ��Ÿ�������� ������ �ݺ��Ͽ� ���� R = 3cm ȯ���� ���ؼ��� ���� ������ �ݺ��Ͽ� ����Ÿ�� ���غ���.

�� ����Ϳ� ��Ÿ���� �׷����� ȯ�� 1���� ���� �̷��� �ڱ��� ��� ��ġ�ϴ°�? ȯ���� �߽���, B(0) ������ �ڱ���� ������ �Ÿ������� �ڱ��� ��, B(R)�� ����Ʈ Ŀ���� �����ϰ� ������ ���غ���.

(3) �ַ����̵� �߽��࿡���� �ڱ�������

유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang

[�׸�9] ������ �¾�

�� ���� �¾����� [�׸�7]�� ���� �Ƴ��α� ä��B �� �Ŀ����� �ϳ��� �� �߰��Ѵ�.
 

�� �Ŀ������� ������� ������ DC 10V - Auto�� �Ѵ�.�� [�׸�8]�� ���� �������� �ַ����̵带 �÷����� �޸鿡�� ���ڰ� ��ǻ���� �Ŀ����� ��´ܿ� �����ǵ��� �Ѵ�.
유한 솔레노이드 자기장 - yuhan sollenoideu jagijang

[�׸�10] �ַ����̵� �ڱ���
�� ������ ���ý���ġ�� �����(AXIAL), 10x ���� �����ϰ� ������ġ�� ���� �߽��� ���� ��ġ�ϵ��� �� �����Ѵ�.

�� ���� ����� ���������� �ڱ���(B)-�Ÿ�(x)�� ��Ÿ���� �׷����� ���

��.

��

���� ��ư�� ������ �ڱ��� ������ ������ �߾����� ������ �����ϸ� ���ɽ����� �ְ� ��Ÿ���� �׷����� �����Ѵ�. �̶�, �������� ����Ѵ�.�� ��� �Ų����� ��Ÿ�������� ������ �ݺ��ϰ� ����Ÿ�� �����Ѵ�. ����Ʈ Ŀ���� �̿��Ͽ� ���� �߽ɿ����� �ڱ���(Bx=0)�� �������� �ڱ���(Bx=��/2)�� ���ϰ� �̷�ġ�� ���Ͽ� ����.�� ���Ͼ�Ķ���۽��� �ַ����̵��� �ܰ� �β� �� ���̸� �����Ͽ� ����ϰ� ������ ������ ���� �̷а��� �´°��� Ȯ���ϰ� ������ ����Ѵ�. ���� ������ �߻��Ͽ��ٸ� ��� ������ �ְڴ°�?
(����: ���⼭ �ַ����̵��� ���̴� ��ü�� ���̰� �ƴ϶� ������ ������ �κи��� �������� �����϶�)

[�� ��]
�ڱ��� ������ ���Ͼȿ��� ������ �������� �����϶� �ڱ����� ��Ѱ�?  ��� ������ ū ������ ��ġ�� ������ ������ �ݰ��� �󸶷� ��ƾ� �ұ�? ������ ������ �뷫 ��߳��� ������� ����� �ڱ����� ���� 7�� ������ ���� ���������� �����ȴٰ� �����غ���.


[Report ���� ����] ������ �ڱ������� �׷����� ���̰� �����Ͱ�, ������ �����Ѵ�.[�ַ����̵��� �ڱ������� ����Ʈ ��]

 (1) ���� ��� ����

�ݰ�(R) ����(��) ������(n=N/��)
     
 
[�׷��� ����]

(2) ��������� ���, k = 1/2(cos��1+cos��2)

 ���� �߾� km  ���� �� ke
   
B = km��0nI = ________ I B = ke��0nI = ________ I

 

(3) ����(DC)= 10(V), ���� I = _______(A)
���� ������(�߾�)
Bx=0 (g)
������(���ϳ�)
 Bx=��/2(g)
�̷а�(�߾�)
B(g)
����(%)
(B-Bm)/B��100
1        
2        
3        
 *����: ���ϳ� �κ��� ������Ʈ �κ��� ������ ������ �� �߽������̴�.

 

[����]
(1) ������ �߾ӿ��� �ڱ��弾���� �ݰ� �������� �ް��� �����϶� �ڱ���(�����)�� ��ȭ�� ��Ѱ�?

(2) ������ �߽ɼ� �󿡼� ���ʳ� ������ �ڱ����� �߾ӿ����� �ڱ��� ���� �� �󸶳� ���̰� ���°�? �̷��� �������ε� ������ ����.

(3) �ڱ����� ����� ���а� �ݰ���� ������ �������ν� �ַ����̵� ������ �ڱ��� ����(Magnetic Field Line)�� �帧�� ���⿡ ���� � ����� ������ �ִ°�?

(4) ������ �ڱ���(�����) ���� �̷а��� ���� ������ �����Ѵٸ� ��� ���ο� ���� �߻��ϴ� ���ϱ�?

(5) ������ �߽��� �������� ��� �߽����� ������ �Ÿ��� x �� �ϸ� �ڱ����� ũ�� B �� x�� �Լ��� ��Ÿ���� �׷����� �׷�����. (���� ���α׷��� ����Ͽ� �׷����� �׷����°͵� ����.)

5. �� ��

(1) Magnetic Field of a Solenoid (pdf ����)