인공지능 미분방정식 - ingongjineung mibunbangjeongsig

인공지능·로켓 회수·핵연료 배치
과학기술 진보 이끄는 수학의 힘

미분 수리모델로 확진자 예측
머스크가 기획한 로켓 `팰컨9`
대서양 목표지점에서 회수
미분으로 속도·각 정확히 계산

한수원 핵연료 재배치 과정서
`외판원 문제` 활용해 경로 단축
확률·통계학자는 AI 공동연구

증시 주가변동 예측까지
수학의 응용 영역 계속 확대
허준이 교수 수학 분야 연구
IT·반도체 기술 응용될 수도

"미분이 뭔지 알아?" "적분 거꾸로 한 것" "그럼 적분은 뭐야?" "미분 거꾸로 한 것". 영화 '해바라기'의 유명한 대사다. 등장인물 희주는 미분과 적분에 어려움을 겪는다. 이처럼 많은 사람에게 미적분을 비롯한 수학은 단지 '어려운 숫자놀음'이다.

허준이 프린스턴대 교수가 수학계 노벨상인 필즈상을 수상하며 사회 전반적으로 수학에 대한 관심이 높아졌다. 그러나 여전히 전국의 수포자(수학을 포기한 사람)와 문송(문과라서 죄송)한 사람들은 덧셈과 뺄셈을 넘어가면 머리가 아파진다. 대화에서 '미분'만 나와도 시선을 돌리게 된다. "수학은 대체 어디 쓰느냐"는 질문이 많은 것도 사실이다. 한화택 국민대 기계공학부 교수(책 '미적분의 쓸모' 저자)는 "미적분의 등장으로 인류는 멈춰 있는 상태를 넘어 변화를 설명할 수 있게 됐다"고 전했다. 그는 이어 "영화 '해바라기'의 대사도 틀린 건 아니다"며 "한 상태에서 덧셈과 뺄셈이 반대를 의미하듯 미분과 적분은 변화하는 양에서 같은 관계라고 보면 될 것"이라고 밝혔다.

미분은 변화하는 움직임을 잘게 쪼개 순간의 변화량을 측정한다. 적분은 이처럼 잘게 쪼갠 대상을 다시 합친다. 실제 우리 사회에서 '이게 어떻게 가능해?'라는 의문을 자아내는 기술에는 고도의 미적분이 숨어 있는 경우가 많다. 미국 우주항공기업 스페이스X의 팰컨9이 대표적이다. 스페이스X는 2015년 우주로 쏜 발사체를 다시 목표 지점에 정확히 세우는 형태로 회수하는 데 성공했다. 한 치의 오차도 없이 각도와 속도 등이 계산됐기에 가능한 일이다. 여기에는 가속도와 각속도를 제어하는 미분의 원리가 적용된다는 것이 한 교수 설명이다.

한국 정부도 지난 6월 발사체 '누리호'를 통해 위성을 궤도로 올려놓은 데 이어, 발사체 재사용을 차세대 발사체 사업의 목표 중 하나로 두고 연구개발에 집중 투자하고 있다.

좀 더 생활 가까이에서 미분의 원리가 활용되는 사례로는 과속방지카메라가 있다. 도로에 일정한 간격으로 속도를 측정하는 기기를 둔다. 두 기기 사이의 거리를 0에 가깝게 좁힐수록 순간 속도를 더욱 정확하게 측정할 수 있다. 그러나 현실적으로는 차량의 길이와 측정 오차 등을 고려해 간격이 유지된다.

그렇다면 주위에서 쉽게 접할 수 있는 기술 가운데 적분을 활용한 사례는 없을까. 의료계에서 흔히 사용되는 컴퓨터단층촬영(CT)에 적분이 활용된다. 독일 물리학자 뢴트겐이 X선을 발견하며 인체를 해부하지 않고도 뼈의 상태를 확인할 수 있게 됐다. 그러나 X선을 통해 얻을 수 있는 이미지는 평면, 2차원에 한정된다. 인체의 3차원 상태는 X선만으로는 확인할 수 없다.

의료용 CT는 환자를 여러 각도에서 촬영한 뒤, 이를 통해 얻은 신체 내부의 정보를 기반으로 사진들을 3차원으로 재구성하는데 이 과정에서 적분이 사용된다.

한 교수는 "넓게 보면 수학의 응용 영역이 계속 확대되고 있는 것"이라고 밝혔다. 이어 "수학자들이 주식시장에 들어와 주가 변동을 예측하기도 하고, 사회과학 분야에서도 조금씩 더 수치화·계량화를 요구하는 연구 방법들이 확대되고 있다"고 설명했다.

최근에는 코로나19 방역정책을 수립하는 데도 수학이 활용되고 있다. 의료 체계에 과부하가 걸리는 것을 막기 위해서는 유행 규모와 중환자 발생 수준 등을 예측하는 것이 필수적이기 때문이다. 코로나19 수리모델링 태스크포스(TF)는 2020년 11월부터 '수리모델링으로 분석한 코로나19 유행예측' 자료를 주기적으로 생산하고 있다. 보고서에는 각 연구팀이 감염재생산지수 등의 변화에 따라 향후 유행 규모를 예측한 내용이 담긴다.

정은옥 코로나19 수리모델링TF 위원장(건국대 수학과 교수)은 "확진자 수와 변화율, 오미크론 변이, 각각의 치료제와 백신 등 자료를 기반으로 미분방정식을 이용해 미래의 유행 규모를 예측한다"고 설명했다.

이어 "결과는 굉장히 잘 맞았던 적도 있고 맞지 않은 적도 있다"며 "상황이 심각해질 것으로 예측되면 방역정책에 변화가 생기고, 이로 인해 결과가 바뀔 수 있다"고 밝혔다.

정 교수는 또 "어느 시점에 의료 시스템에 한계가 올 수 있다는 것을 경고하고, 이에 대해 미리 준비할 수 있도록 해 의료 체계가 무너지지 않게 하는 게 중요하다"고 덧붙였다.

수학의 산업적 응용인 '산업수학'을 전문적으로 다루는 연구소도 있다. 대전광역시 유성구에 있는 국가수리과학연구소(NIMS)다. 산업 현장에서 발생하는 최적화 문제뿐 아니라 의료 현장, 공공 의제에 대해 수학적으로 분석하는 곳이다. 김현민 국가수리과학연구소장은 "허 교수처럼 순수수학을 하는 학자들은 고등과학원 등에서 수학 자체의 난제를 해결하기 위해 연구한다. 우리는 사회적 문제나 산업과 관련되는 문제를 수학을 통해 해결하려는 것"이라고 설명했다.

김 소장은 대표적인 사례로 한국수력원자력의 '핵연료 삽입체 재배치' 문제를 들었다. 원자력발전소에서는 주기적으로 핵연료와 연료 삽입체를 교체·재배치하는 계획예방정비를 시행한다. 이후 삽입체를 점검한 뒤 교체와 정비를 거쳐 다시 사용되기 위해 이동시키는 절차를 거친다. 이 과정에서 삽입체의 이동 거리가 짧을수록 안전 문제 등이 발생할 가능성이 줄어든다.

NIMS 연구팀은 조합론 분야 최적화 문제인 '외판원 문제(Traveling Salesman Problem)'와 관련된 기법을 응용하고, 계산하기 복잡한 알고리즘을 재검토했다. 이를 통해 과거 작업자가 경험에 기반해 삽입체를 이동시켰을 때에 비해 경로를 약 40% 줄이는 성과를 얻은 것으로 알려졌다.

부산도시가스에서 의뢰한 '도시가스 사용량 예측' 문제도 NIMS를 거쳤다. 데이터 분석을 통해 검침 오류·이상 가구를 판별하고 미래 사용량을 예측해 직접 검침하지 않은 가구에 대해서도 신뢰도 높게 사용량을 추정하자는 목적이었다.

연구진은 시간과 온도를 고려한 월별 사용 모델을 개발해 미래 사용량을 예측했다. 또 사용량이 급격히 증가하는 가구나 평균과 사용량이 동떨어진 가구 등 규칙을 기반으로 이상 데이터를 분류하는 모델을 개발했다. 이외에 의료 데이터를 기반으로 예측 정확도를 높이는 작업 등도 진행 중이다.

최근에는 산업수학에서 다양한 수학 분야 연구자들 간 협업이 필수가 되는 추세다. 가령 인공지능(AI) 관련 연구를 해야 하면 AI 연구자뿐 아니라 통계·확률 연구자들도 참여하는 형태다.

김 소장은 "수학적인 문제를 해결하기 위해 각 기업에서 모두 수학자를 뽑기는 어렵다. 산업 현장에서 맞닥뜨린 문제가 수학적으로 적용이 가능한지 판단하는 것도 사실 쉽지 않다"고 설명했다. 이어 "기업에서 수학이라는 약한 고리를 우리가 해결하려 하고 있다"고 덧붙였다.

[정희영 기자]
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인공지능(AI)이 세계를 이해하기 위한 주요 수학적 퍼즐을 풀었다.

편미분 방정식은 행성 운동에서 판 구조론에 이르기까지 모든 것을 설명 할 수 있지만 해결하기가 매우 어렵다. 물리학자나 엔지니어가 아니라면 편미분 방정식에 대해 알아야 할 이유도 크게 없다.

그러나 편미분 방정식 또는 PDE(partial differential equation)도 일종의 마술이다. 그것들은 공간과 시간에 따른 변화를 설명하는 수학 방정식의 범주로 우주 물리적 현상을 설명하는 데 매우 유용하다. 행성 궤도에서 판 구조론, 비행을 방해하는 난기류에 이르기까지 모든 것을 모델링하는 데 사용할 수 있다. 이를 통해 우리는 지진 활동을 예측하고 안전한 비행기를 설계하는 것과 같은 실용적인 작업을 수행할 수 있다. 문제는 PDE가 해결하기가 매우 어렵다는 것이다.

난기류를 시뮬레이션 등 유체 움직임을 설명하는 데 사용되는 Navier-Stokes라는 PDE가 있다. Navier-Stokes를 사용하면 어느 시점에서든 공기의 움직임(일명 바람 조건)의 스냅 샷을 찍고 공기가 어떻게 계속 움직일 것인지 또는 이전에 어떻게 움직였는지 모델링 할 수 있다.

이러한 계산은 매우 복잡하고 계산 집약적이므로 많은 PDE를 사용하는 분야에서 종종 슈퍼 컴퓨터에 의존하여 수학을 수행한다. 또한 AI 분야가 이러한 방정식에 특별한 관심을 기울인 이유이기도하다. 심층 학습(deep-learning)을 사용하여 문제를 해결하는 과정의 속도를 높일 수 있다면 과학적 탐구와 공학에 많은 도움이 된다.

최근 미국 칼텍(Caltech) 연구원들은 출판전 논문 사이트 아르시브(arxiv) 논문에서 기존 딥러닝 방법보다 훨씬 더 정확한 PDE를 해결하기위한 새로운 딥러닝 기술을 도입했다. 더 일반화가 용이하며 재훈련 없이도 모든 유형의 유체에 대한 Navier-Stokes 방정식과 같은 전체 PDE 제품군을 해결할 수 있다. 기존의 수학 공식보다 1,000배 더 빠르기 때문에 슈퍼 컴퓨터에 대한 의존도를 낮추고 더 큰 문제를 모델링 할 수 있는 계산 능력을 높일 수 있다.

먼저 연구 결과, 첫 번째는 유체 운동의 두 스냅 샷을 보여준다. 두 번째는 실제 생활에서 유체가 어떻게 계속 움직였는지 보여준다. 세 번째는 신경망이 유체의 움직임을 어떻게 예측했는지 보여준다.

먼저 이해해야 할 것은 신경망이 기본적으로 함수 근사자(function approximators)라는 것이다. 쌍을 이룬 입력 및 출력의 데이터 세트에 대해 훈련할 때 실제로 함수 또는 일련의 수학 연산을 계산하여 하나를 다른 것으로 전치한다.

고양이 탐지기 구축을 예로들면, 고양이와 고양이가 아닌 것 (입력)에 대한 많은 이미지를 제공하고 각 그룹에 각각 1 또는 0 (출력) 레이블을 지정하여 신경망을 훈련한다. 그런 다음 신경망은 고양이의 각 이미지를 1로, 나머지 모든 이미지를 0으로 변환할 수 있는 최상의 함수를 찾는다. 이것이 새로운 이미지를 보고 고양이 인지 여부를 알려주는 방법이다. 답을 계산하기 위해 찾은 함수를 사용하고 있으며, 훈련으로 대부분의 경우 올바르게 얻을 수 있다.

이 함수 근사 프로세스는 PDE를 풀기 위해 필요하다. 우리는 궁극적으로 물리적 공간과 시간에 걸친 공기 입자의 움직임을 가장 잘 설명하는 함수를 찾으려 한다. 여기에 논문의 핵심이 있다. 신경망은 일반적으로 x, y 및 z 축이 있는 클래식 그래프 인 유클리드 공간에 정의 된 입력과 출력 간의 함수를 근사하도록 훈련된다. 그러나 이번에 연구원들은 파동 주파수를 그리는 특별한 유형의 그래프, 푸리에 공간에서 입력과 출력을 정의하기로 결정했다.

연구를 감독한 칼텍 교수 아니마 아난드쿠마르(Anima Anandkumar)는 그들이 다른 분야의 작업에서 얻은 직관은 공기의 움직임과 같은 것이 실제로 파동 주파수의 조합으로 설명될 수 있다는 것이라고 설명한다. 거시적 수준에서 바람의 일반적인 방향은 매우 길고 무기력 한 파동이 있는 저주파와 같고, 미세 수준에서 형성되는 작은 소용돌이는 매우 짧고 빠른 파동을 가진 고주파와 같다.

이는 유클리드 공간에서 PDE와 엉키는 것보다 푸리에 공간에서 푸리에 함수를 근사화 하는 것이 훨씬 쉽기 때문에 신경망의 작업이 크게 단순화한다. 기존 방법에 비해 속도가 크게 향상 될 뿐만 아니라 이 기술은 Navier-Stokes를 풀 때 이전 딥러닝 방법보다 30% 낮은 오류율을 달성한다. 모든 것이 매우 영리하며 방법을 보다 일반화할 수 있다. 이전의 딥러닝 방법은 모든 유형의 유체에 대해 개별적으로 훈련해야 했지만, 연구원의 실험에서 확인 된 바와 같이 이 방법은 모든 유체를 처리하기 위해 한 번만 훈련하면 된다.

아직 이를 다른 사례로 확장하려고 시도하지는 않았지만 지진 활동과 관련된 PDE를 풀 때 모든 것을 처리할 수 있어야 하고 열전도 도와 관련된 PDE를 풀 때 모든 재료 유형을 처리할 수 있어야 한다.

슈퍼 시뮬레이션

연구팀은 Caltech 및 로렌스 버클리 국립 연구소(Lawrence Berkeley National Laboratory)의 다른 연구원들과 함께 자신의 방법을 실행하기 위해 노력하고 있다. 특히 흥미로운 연구 주제 중 하나는 기후 변화다. Navier-Stokes는 난기류 모델링 뿐만 아니라 패턴을 모델링하는데도 사용된다.

아난드쿠마르는 “전 세계적으로 훌륭하고 세밀한 날씨 예측을 하는 것은 매우 어려운 문제다. 심지어 가장 큰 슈퍼 컴퓨터로도 이를 수행할 수 없다. 따라서 이러한 방법을 사용해 전체 파이프 라인의 속도를 높일 수 있다면 엄청난 영향을 미칠 것”이라고 말했다.

* Fourier Neural Operator for Parametric Partial Differential Equations

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