일차방정식 실생활 활용 사례 - ilchabangjeongsig silsaenghwal hwal-yong salye

방정식이란 미지수에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 등식을 말한다. 방정식은 미지수의 차수와 개수에 따라 서로 다른 이름으로 불리는데, ‘(일차식)=0’의 꼴로 나타낼 수 있는 미지수가 1개인 방정식을 ‘일차방정식’이라고 부른다. 일차방정식은 비교적 간단하게 식을 세워 해를 구하기 때문에, 생활 속 곳곳에서 쉽게 그 원리를 만날 수 있다. 생활 속에서 방정식을 익혀 보자.

수학은 다 어렵다지만, 그중 특히 중1 학생의 발목을 잡는 건 일차방정식이다. 어려워하는 이유는 미지수에 있다. ‘등식’ ‘항’ ‘이항’ ‘우변’ ‘좌변’ 등의 낯선 용어들이 속출해 초등학교 때 수학 좀 했다 하는 학생마저도 주눅이 든다. 문제는 일차방정식이 2학년의 연립일차방정식과 일차부등식, 3학년의 이차방정식의 활용은 물론 함수 문제 해결의 기초이며 고교 수학의 초석이 된다는 데 있다. 어렵다고 대충 넘어가거나 회피한다면 앞으로의 수학 인생이 험난해질 가능성이 큰 만큼 시간이 걸리더라도 기본 개념을 다잡는 것이 중요하다.

취재 김한나 리포터 도움말 김예찌 원장(김예찌수학)

“초등 때까진 수학을 곧잘 했어요. 그런데 중1 <수학>은 너무 어려워요. 특히 일차방정식이요. 문제를 반복해 읽어도 식을 어떻게 세워야 할지 모르겠어요. 문제집 <체크체크>와 <풍산자> 두 권을 두 번씩 반복했는데 정답률은 60~70% 정도예요. 학원에서는 계속 반복하면 나아질 거라는데 별로 믿음이 안 가요. 제가 수학 머리가 없어서 그런 건지, 아니면 다른 중1 친구들도 일차방정식을 힘들어하는 건지 걱정이 한가득이에요.” _일차방정식을 힘겨워하는 중1 왕곤란 학생

네 문제를 보여줘!

무엇이 문제일까?

왕곤란 학생의 두 문제에 대한 풀이 과정을 보니 첫 번째 일차방정식 문제에서는 미지수의 사용법을 몰라서 식을 세우는 데 실패했고, 두 번째 문제는 문제가 제시한 요점을 제대로 파악하지 못해 푸는 과정에서 실수가 발생했네요.

일차방정식을 풀기 위해서는 문제 속 숨겨진 단서를 잘 파악해 식으로 표현해내는 능력이 필요합니다. 또한 구하려는 값을 미지수로 두고 식을 세울 수 있어야 하죠. 값을 아직 모르는 수, 즉 미지수를 사용한다는 것 자체가 중1 학생들에게는 낯설고 어색할 수 있습니다. 이제 막 초등학생 티를 벗은 중1에게 미지수란 피부에 와닿지 않는 개념일 테니까요. 왕곤란 학생도 이런 상황에서 문제 풀이만 하다 보니 일차방정식이 어렵게 느껴졌을 겁니다.

선생님이 알려줄게!

첫 번째 문제를 함께 풀어볼까요? 이 문제에서는 두 가지 단서를 잘 활용해서 식으로 나타내야 해요.

첫째, 기차가 철교와 터널을 완전히 빠져 나오게 하려면 터널과 기차의 길이뿐 아니라 기차의 길이를 꼭 포함해야 합니다. 즉 기차의 길이를 m로 하고 철교와 터널을 완전히 통과할 때의 거리를 (400+x)m, (300+x)m로 놓아야 해요.

기차의 길이는 100m로 구할 수 있습니다.

두 번째 문제에서는 9%와 4%의 소금물의 양이 같다고는 하 지 않았는데9% 소금물의 양과 4% 소금물의 양을 모두 g이 라 놓고 풀어서 답을 틀리고 말았어요. 9% 소금물의 양을 x로, 4% 소금물의 양을 200-x로 놓고 풀어야 합니다.

9% 소금물의 양 : xg, 4% 소금물의 양 : 200 - x

9% 소금물의 양은 80g 이 나오게 되죠.

같은 문제집을 두 번 반복해 풀었는데도 정답률이 80%를 넘지 못한다면 개념이 부족하기 때문일 확률이 커요. 일차방정식은 먼저 배운 ‘문자와 식’ ‘방정식과 항등식’과 연계되니 이 단원을 다시 한 번 익히고 미지수의 개념, 방정식을 풀 때 이항하는 방법과 등식의 성질을 이용하는 방법을 충분히 숙지해야 합니다.

미지수 세우는 법이 어렵다면 x대신 □를 넣어보는 것도 방법이에요.

미지수를 통한 방정식의 활용을 배우는 이유는 앞으로 진행 될 고교 수학의 초석을 다지기 위함입니다. 천천히 가더라도 확실히 개념을 정립해야 대입까지 무너지지 않는다는 점을 명심하길 바라요. 심화와 선행은 개념 위에 쌓아야 한다는 것을 꼭 기억하세요.

일차방정식의 활용 문제는 유형이 매우 다양해요. 그리고 문제 유형마다 문제를 쉽게 풀 수 있는 풀이법이 있어요. 유형별 풀이법에 대해서는 잘 이해하고 있어야 합니다.

그렇다고 공식으로 달달 외우기보다는 문제를 많이 풀어서 자연스럽게 익혀야 해요. 일차방정식의 활용 문제는 문장으로 되어 있기 때문에 식을 세우는 연습도 해야 하거든요. 실제 해보면 식을 세우는 게 제일 어렵게 느껴져요.

문제 유형별로 어떻게 식을 세워야 하는지 알아보죠. 식만 잘 세우면 푸는 건 별로 어렵지 않거든요.

일차방정식의 활용

일차방정식의 활용 문제를 풀 때는 아래의 순서대로 진행하면 됩니다.

문제에서 구하려는 것을 x라고 놓는다.
문제를 잘 읽어보고, 문제에서 구하려는 것이 무엇인지 잘 찾아야 해요.
문제의 조건에 맞는 방정식을 세운다.
문제에서 원하는 답을 구한다.
일차방정식의 풀이에서 공부한 방법으로 일차방정식을 풀어요.
문제에서 원하는 답을 구한다.
방정식의 해와 문제에서 요구하는 답이 다른 경우가 있어요. 따라서 문제에서 요구하는 게 x 인지 확인하세요.

문제에서 구하라고 하는 걸 꼭 x라고 해야 하는 건 아니에요. 경우에 따라서 식을 가장 쉽게 세울 수 있는 값을 x로 놓는 경우도 있어요. 문제 유형에 맞게 잘 선택해야 해요.

어떤 수에 관한 문제

어떤 수를 구하는 문제는 아주 쉽죠. 어떤 수를 x로 놓고 식을 세워서 구하면 돼요. 방정식의 해가 바로 문제에서 구하라고 하는 어떤 수입니다.

어떤 수와 20의 합은 어떤 수를 5배 한 것보다 4가 크다고 한다. 어떤 수를 구하여라.

어떤 수를 x라고 놓고 식을 세워보죠.

x + 20 = 5x + 4
x - 5x = 4 - 20
-4x = -16
x = 4

자릿수에 관한 문제

십의 자리가 2이고, 일의 자리가 4인 수는 24라고 쓰죠. 그럼 십의 자리가 3이고, 일의 자리가 a인 수는 3a라고 쓸까요? 아니에요. 문자가 있는 경우에는 곱셈기호가 생략된 경우라서 전혀 다른 수에요.

십의 자리가 3이고, 일의 자리가 a인 수 = 3 × 10 + a

십의 자리 숫자가 a이고, 일의 자리 숫자가 5인 자연수가 있다. 이 자연수의 일의 자리 숫자와 십의 자리 숫자를 바꾸면 처음 수보다 9가 크다고 할 때, 처음 수를 구하여라.

처음 수에서 십의 자리 숫자가 a, 일의 자리 숫자가 5라고 했으므로 10 × a + 5에요.
십의 자리와 일의 자리를 바꾼 나중의 수는 10 × 5 + a가 되지요.

나중의 수가 처음 수보다 9가 크다고 했으니 처음 수에 9를 더해야 나중의 수가 되겠네요. 이걸 식으로 나타내보죠.

(10 × a + 5) + 9 = 10 × 5 + a
10a + 14 = 50 + a
10a - a = 50 - 14
9a = 36
a = 4

처음 수의 십의 자리 숫자는 4에요. 문제에서 구하려는 건 십의 자리 숫자가 아니라 처음 수에요. 그래서 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 조합한 45가 문제의 답입니다.

방정식의 해와 문제의 답이 다른 경우예요.

연속하는 자연수에 관한 문제

12와 13은 연속하는 자연수에요. 20과 21도 연속하는 자연수지요. 두 자연수 사이에는 1이라는 차이가 있어요. 연속하는 두 자연수 중 작은 수를 x라고 하면 큰 수는 (x + 1)로 쓸 수 있는 거지요. 물론 큰 걸 x, 작은 걸 x - 1로 해도 상관은 없어요.

그럼 연속하는 짝수 또는 연속하는 홀수는 어떨까요? 짝수는 2 차이가 나죠? 그래서 연속하는 두 짝수에서 작은 수를 x라고 놓으면 큰 수는 (x + 2)로 놓을 수 있어요. 홀수도 마찬가지고요.

연속하는 세 자연수는 크기가 작은 것부터 x, x + 1, x + 2로 쓸 수 있어요. 큰 것부터 쓴다면 x, x - 1, x - 2로 쓸 수 있겠죠. 하지만 실제로 식을 세워서 계산할 때는 이 둘보다 가운데 수를 x로 놓고, 작은 걸 x - 1, 큰 걸 x + 1로 놓는 게 제일 편리해요.

연속하는 두 자연수: x, x + 1
연속하는 두 짝수(홀수): x, x + 2
연속하는 세 자연수: x - 1, x , x + 1

연속하는 세 짝수의 합이 60일 때, 가장 작은 짝수를 구하여라.

연속하는 세 짝수에서 가운데 수를 x라고 놓으면 가장 작은 짝수는 x - 2, 가장 큰 짝수는 x + 2에요. 세 자연수의 합이 60이니까 이걸 식으로 세워보죠.

(x - 2) + x + (x + 2) = 60
3x = 60
x = 20

여기서 방정식의 해 20은 중간 짝수에요. 문제에서 구하는 답은 가장 작은 짝수이므로 답은 18이네요.

물론 문제에서 구하라고 한 가장 작은 짝수를 x로 놓고, 다른 짝수를 x + 2, x + 4로 해서 문제를 풀어도 좋아요.

나이에 관한 문제

나이에 관한 문제는 현재 나이와 미래 나이를 비교하는 유형이에요. 현재는 몇 살인데, 미래에는 지금보다 "몇 살 많다 혹은 몇 배이다" 이런 식이죠.

나이를 구하는 문제이긴 하지만 나이를 미지수 x로 놓으면 계산이 복잡해져요. 문제에서 요구하는 나이에 도달하는 년수를 미지수 x로 놓는 것이 쉬워요. 년수를 x로 놓은 다음에 x년 후의 나이를 x를 포함한 식으로 표현하는 거지요. 현재의 나이가 14살이라면 5년 뒤의 나이는 (14 + 5)살이잖아요. 그럼 x년 뒤의 나이는 (14 + x)로 쓸 수 있어요.

철수의 나이는 14살이고, 아빠의 나이는 46살이다. 아빠의 나이가 철수의 나이의 3배가 될 때 철수의 나이를 구하여라.

x년 후 철수의 나이는 (14 + x)살
x년 후 철수 아빠의 나이는 (46 + x)살

아빠의 나이가 철수의 나이의 3배가 되는 걸 식으로 세우면.
3(14 + x) = 46 + x
42 + 3x = 46 + x
3x - x = 46 - 42
2x = 4
x = 2

2년 뒤에 아빠의 나이가 철수의 나이의 3배가 돼요. 이때 철수의 나이는 16살이네요.