세 점을 지나는 평면의 방정식 외적 - se jeom-eul jinaneun pyeongmyeon-ui bangjeongsig oejeog

(구) 이론

세 점을 지나는 평면의 방정식 (외적 Ver.)

고등 기본 교육과정에는 나오지 않는 외적..

즉, 크로스 곱 (또는 벡터곱)

이번 연구는 그 숨겨진 계산법의 쓸모를 알아보겠다.

[연구일시] 2011.2.23

공간도형 부분에서 평면의 방정식 일반형은

그러나 어느날 물리ll 를 공부하다 외적이라는 것을 알게되었다.

그리고 기본적인 조사 결과 외적을 하면 기존 두 벡터에 수직인 벡터가 나온다는것..

즉, 이것을 평면을 구하는 '법선벡터' 로 활용할수가 있겠다는 가설을 세우고 연구에 돌입했다.

그럼 우선 일반형으로 가겠다.

그럼 필요한 벡터를 잡겠다.

식이 복잡하므로 성분을 차례대로

이제 외적을 해보면,

우선 1행 1열을 지우고 남은 b 와 c를 가지고

행렬식 ad-bc를 하고나서

그 결과값에 단위벡터 x를 넣으면

단, 여기서는 우선부호가 + 다.

그다음 1행 2열을 지우고 남은 a와 c를 가지고

다시한번 행렬식을 하고 y를 넣는다.

단, 여기서 우선부호는 - 다.

주로 많은 학생들이 이부분에서 - 를 보이는 그대로 + 로 했다가

다 찾은 식을 망치는 경우가 많다.

그 다음 마지막은 1행 3열을 지우고

a와 b로 행렬식을 꾸미고 z를 넣었다.

여기서는 우선부호가 다시 +이다.

즉, 합집합 포제의원리 처럼 + - 가 번갈아 나오는 것이다.

이제 결과가 나왔다.

즉, 성분으로 나타내면

그림으로 표현하면 이것이 B를 시점으로 해서 두 벡터에 수직으로 올라감을 알수있다.

(물론 어느쪽으로 수직인지도 알아야하지만 이 연구에선 중요하지 않으니 넘어가도록 하겠다.)

그럼 이제 임의의 한점 P를 지나고 법선H에 수직인 평면을 생각할수가 있다.

(임의의 점 P의 위치벡터를 x로 잡았다.)

이제 한가지 예를 들어 이번 연구결과가 타당한지 알아보겠다.

간단히

A(1.2.3) B(2.2.3) C(0.0.2) 로 하겠다.

원래 기본 규칙은 일반식인

에 대입하여 정리하여 구하는것..

우선 그 방식대로 해보면

즉, a = 0 이다.

즉, c = -2b & d = 4b

즉, 우리가 원하는 평면의 방정식이

임을 알수있다.

이번에는 이번 연구주제였던 외적을 이용해서 찾아보겠다.

즉, 외적으로 나온 벡터값은 (0.1.-2) 이다.

이제 수직조건을 활용해서

(외적값을 법선벡터로 생각한다.)

성분으로 표현하면

위에서 기본대로 구한 식과 같음을 알수있다.

이로써 외적을 이용해 세 점을 지나는 평면의 방정식을 좀더 쉽게 구할수 있었다.

-연구보고.끝-

p.s. 연구 후기 : 위에도 언급했듯이 나 역시 2번째 외적단계에서 y 기본부호가 - 임을 잊어서

기본식대로 푼것과 거의 유사했으나 작은 차이로 어긋나 3번이나 다시 계산하였다.

그러다 순간 내가 -를 안한것을 떠올려 다시 하였더니 정상값이 나왔고, 이렇게 연구를 마칠수 있었다.

다음번.. 내가 아닌 이 글을 본 누군가라도 y에 부호를 실수하질 않기를 바란다.