지난장 도핑을 통한 캐리어에 대해서 간략하게 설명을 했으니 이제 페르미 준위에 대해서 설명할수 있겠네요. 페르미 준위를 알기위해서 먼저 상태에 대해서 알아야 합니다. 가령 평형 상태를 예로 들어보죠. 고등학교때 배운 것을 예로 들어보죠
 밀폐된 공간에 농도가 다른 2개의 용액이 있을때 시간이 무한히 흐른다면 2개의 용액의 농도가 같아지는 것을 기억하시는 분들 있을 것입니다. 액체에서 기체로 기화하고, 농도가 부족한쪽으로 가서 물의 양이 늘어나고, 이런 메커니즘을 통해 결국 농도가 같아지는 것이죠 이런 상태를 평형상태라고 하며, 평형상태가 된 이후에는 더이상 눈으로 어떤 변화는 안보이게 되죠. 물론 그렇다고 해서 더 이상 어떠한 반응도 하지 않는 것은 아닙니다. 이런 평형 상태에 관한 내용이 어떻게 적용될까요?
valence 밴드에 전자가 힘을 받게 되면 흥분상태가 되서 conduction 밴드로 올라간후 어느정도 시간이 흐르면, 다시 valence밴드로 내려오게 됩니다. 왜냐하면 물질의 평형상태가 전자가 valence 밴드에 있는 상태이기 때문이죠 이제 다시 페르미 준위로 돌아가봅시다. 페르미 준위란 양자 역학에서 페르미-디렉 통계의 변수나 페르미 입자계의 화학 위치에너지입니다. 절대온도 0에서의 페르미 준위는 바닥 상태의 에너지로 , 이를 페르미 에너지라고 부릅니다. 현대의 원자 모형은 확률로써 정의되죠. 마찬가지 입니다. 페르미 준위 역시 확률의 식입니다. 온도에 따른 확률의 함수로 페르미 준위를 정의합니다. 식은 아래와 같죠
위 식에서 f(E)는 전자가 임의의 에너지를 갖는 확률을 의미합니다. 0~100%로 확률을 표기하는 것이 아니라 0~1로 확률을 표기하는 것이죠. 위 식에서 지수함수 부분의 k는 볼츠만 상수로 정해진 값입니다. 8.62 x 10^-5 eV/K 보통은 볼츠만 상수는 J/K이지만 전자의 에너지를 나타내는 eV를 사용합니다. 이런 페르미 준위 식이 1/2가 되는 지점이 전자가 존재할 확률이 50%가 되는 부분이며 이것을 에너지 밴드 다이어그램에 표기하기도 합니다. 간단하게 계산을 해보죠
E -Ef가 양수인지 음수인지만 따진 것입니다. 의미를 해석해보면 절대온도가 0K일때, 순수한 실리콘 즉 , intrinsic 반도체 (진성 반도체)의 경우 conduction band에 캐리어가 없다는 것을 의미합니다. 이것이 첫번째 식의 의미이고 반대로 valence band에 캐리어가 무조건 존재한다는 것이 2번째 식의 의미입니다. 이 개념을 밴드 다이어그램으로 확인해 보면 #진성반도체의 페르미 준위 위에서 페르미 디락 함수를 보았습니다. 이때 전자가 존재할 확률 50%가 되는 지점이 페르미 준위가 됩니다. 이말은 곧 전자가 존재할 확률 = 정공이 존재할 확률이 되는 에너지 레벨이라는 의미죠
밴드 다이어 그램으로 표시하면 이렇게 존재하게 됩니다. 딱 중앙에 페르미 준위가 존재하는 것이죠. 진성 반도체는 어떠한 도핑도 하지 않은 반도체를 의미하는 것으로 전자와 정공이 같은 농도를 가지고 있기 때문에 conduction band와 valence band 중앙에 위치합니다. 그렇다면 도핑은 한 경우는 어떠할까요? #n형 반도체 n형 반도체는 위에서 설명한 것과 같이 4족 원소에 5족 원소를 도핑해서 만들게 됩니다. 따라서 전자가 다수캐리어, 정공이 소수캐리어가 되죠 이말은 곧 전자의 농도가 진성반도체보다 높다는 의미가 되고 , 다르게 말하면 conduction band 가까이 가도 전자가 존재할 확률이 높아진다는 의미가 됩니다.
평형상태에서 전자의 농도가 정공의 농도보다 높기 때문에 위에서 표시한 페르미 준위가 전자와 정공이 반씩 존재할때 라는 것을 고려해보면, 전자가 정공보다 많기 때문에 conduction band에 가까이 있어야 합니다. #p형 반도체 반대로 p형 반도체는 4족원소에 3족원소를 도핑하는 경우로, 전자보다는 정공의 농도가 높습니다. 전자가 들어가야될 자리에 전자가 존재하지 않게 되는 것이죠. 따라서 전자가 소수캐리어, 정공이 다수캐리어가 됩니다. 즉, 페르미 준위가 보다 더 valence band에 가깝게 붙어야만 하겠죠
앞으로 중요한 것은 이런 페르미 준위는 하나의 계(시스템)에서 한 하나의 페르미 준위를 가진다는 점입니다. 즉 n형과 p형을 붙여 놓는다면 페르미 준위는 일정해야 하므로 페르미 준위를 기준으로 붙여야한다는 것이죠. 이것은 이후에 보면 자연스레 이해가 될 내용입니다. 이제부터는 조금 응용을 해보겠습니다. 지금까지는 기본적인 도핑은 한 상태에서 페르미 준위 였습니다. 그러나 페르미 준위 식을 보면 온도에 따라 달라지는 식임을 알수 있죠. 즉, 온도의 변화 , 열 혹은 빛 을 가하거나 에너지를 공급하는 경우 페르미 준위의 변화가 있습니다. 앞서 우리가 양자역학을 정리하면서 배운 것이 있죠. 온도가 상승하게 되면 전자는 열의 의한 운동에너지를 갖게 됩니다. 이 운동에너지가 커짐에 따라서 에너지 밴드갭 만큼의 에너지가 없어도 밴드갭 만큼을 뛰어넘을 수 있습니다. 터널 효과 혹은 터널링이라고 불리는 것인데 , 이전에 설명은 하지 않았습니다. 이것을 간단하게 설명하면, 고전역학에서는 입자는 자신이 갖는 에너지 보다 준위가 높은 에너지 장벽을 넘을수 없습니다. 원자핵을 이루는 핵자들은 핵력의 작용으로 강하게 결합되어 있는데, 이를 포텐셜 장벽이라고 부릅니다. 즉 포텐셜 장벽이 만드는 에너지보다 작은 에너지를 갖는 것은 불가능하기 때문에 원자밖으로 탈출하는 것이 불가능하죠. 그러나 실제로는 벗어나는 일이 일어납니다. 이런 것을 터널 효과라고 하죠 가령 비유를 하자면, 사람이 단단한 벽에 가로막혀 있습니다. 이 사람이 아무리 벽에 몸을 박아도 벽너머로 갈수가 없죠. 그러나 전자는 가능합니다.
모든 전자가 포텐셜 장벽을 통과하는 것은 아닙니다. 확률적으로 통과할수 있는 것이죠 이는 전자가 물질의 개념을 넘어 파동의 성질을 가지고 있기 때문이라고 볼수도 있습니다. 매우 작은 입자는 파동의 성질을 가지기에 아래의 그림처럼 에너지 벽을 통과할수 있습니다.
슈뢰딩거 파동방정식에서 배웠듯이 위의 그림에 있는 파란선이 파동함수입니다. 이 값이 0이 아니라면 장벽 너머로도 입자가 존재할수 있다는 것이죠 물론 이런 터널 효과는 에너지 장벽(potential wall)이 너무 두껍거나 혹은 입자의 크기가 큰 경우 불가능합니다.
입자의 질량이 작거나 포텐셜 장벽이 얇아야 이런 터널 효과도 가능한 것이죠 다시 페르미 준위로 돌아와 에너지가 가해진 전자는 밴드갭 만큼의 에너지가 없어도 conduction band로 갈수 있습니다. 좀더 나가면 전자가 conduction band 이상의 에너지를 가질 확률이 증가하는 것입니다 진성반도체에 관해서 다시 알아봅시다. 온도가 높아지면 진성반도체에서 전자가 존재할 확률이 증가합니다. 이는 곧 페르미 준위의 상승을 의미하죠
왼쪽의 그래프에 관해서 설명을 하면 되겠죠? 오른쪽은 이미 본 내용이니 이 그래프는 확률과 에너지를 가지고 그린 그래프입니다. 단 온도에 영향을 받는 것이죠
위의 사진을 통해서 정리해봅시다. 온도가 달리짐에 따라서 페르미 준위의 변화를 그린 그래프입니다. 온도가 300K , 즉 상온 정도의 수준으로 올리면 페르미 준위 그래프에 변화가 보이실 것입니다. 온도를 올리면 전자가 흥분되면서 캐리어 농도가 높아지므로 확률이 증가하게 됩니다. 1/2인 점은 변화가 없지만, 페르미 준위 위쪽과 아래쪽에 전자가 존재할 확률이 변화됩니다. 전자가 존재할 확률이 적은 conduction 밴드쪽 즉 f(E)가 0으로 갈수록 에너지가 올라가는 것을 볼수 있습니다. 반대로 존재할 확률이 많은 valence 밴드 쪽 즉 f(E)가 1로 갈수록 에너지가 내려가는 것을 볼수 있습니다. 이 의미는 온도를 올리면 일부 전자가 페르미 준위 이상의 에너지 값을 가질 확률이 증가한다는 것을 말해줍니다. 그렇다면 n형 반도체의 경우 페르미 준위가 이미 conduction band 가까이에 있지만 온도를 올리면 이 값이 더 상승한다는 것을 의미합니다.
도핑 되어 있기 때문에 페르미 준위는 올라가 있습니다. 그래프에서 확대된 모습을 보면 conduction 밴드이상으로 그래프가 올라가 있는 것을 볼수 있는데 이 의미가 그 이상의 에너지를 가질 확률이 높아진다고 보면 됩니다. 반대로 p형 을 보겠습니다.
이 경우 반대로 valence 밴드에서 무조건 전자가 존재해야 하나 더 낮은 에너지 값을 가져야 확률이 1이 됨을 알수 있습니다. 어느정도 페르미 준위에 대해서 알았다면 캐리어 농도를 알아봅시다. 지난번 캐리어 농도를 고려할때 가장 중요한 식이라 했던 것을 다시 보죠
이 내용을 좀더 이해하기 위해서 어떠한 원자의 공유결합 모형을 보죠
위 경우 2개의 전자를 서로 공유하면서 결합하고 있습니다. 그러나 만약 이중 하나의 원자의 전자가 많거나 전자가 비어있다면 어떨까요?? 이 경우 결합이 불완전하게 되겠죠. 전자가 적다면 결합에 있어 전자가 비었다는 의미로 정공(Hole)이라 하며 전자의 극성이 - 이므로 전자가 없으니 +의 전극 특성을 가진다 보고 하나의 캐리어로 간주하는 것입니다. 실제로는 전자가 없는 공간을 의미합니다. 전자가 많다면 반대로 -극성의 전자가 많은 것이므로 이 결합하고 남은 전자가 캐리어로써 동작하는 것이죠 이런 전자와 정공은 전자가 더 있냐 없냐로 결정되지만, 그 특성이 조금 다릅니다. 가장 중요한 특성 중 하나가 바로 이동도(mobility)입니다. 전자는 결합을 다 마친 상태에서도 추가로 남은 전자로 금속의 자유전자와 비슷한 거동을 보입니다. 때문에 이동도가 뛰어나죠 반대로 정공의 경우 원자결합 사이의 공백을 의미하므로 정공이 이동하려면 자신이 있는 자리에 전자를 채워넣고 옆으로 이동해야하는 경우입니다. 혹은 이미 결합된 부분에서 전자를 빼와서 자신의 자리에 채우고 빼온 전자 부분으로 정공이 이동하는 형태로 이동 시 제약이 많습니다. 따라서 전자의 이동도 보다 정공의 이동도가 느립니다. 이 내용을 실리콘에 적용시켜보도록 하죠 먼저 진성반도체의 경우 기본적으로 실리콘 내에서도 캐리어가 존재합니다. 단위 부피 1cm^3 당 10^22 개의 실리콘 원자가 존재하고, 이때 캐리어는 고체 구조 내에서 열이나 에너지를 전달하는 요소로 결합을 끊고 캐리어의 역할을 하게 됩니다. 이때 완전한 공유 결합이었던 Si결정을 깨고 전자가 만들어졌기 때문에 정공 역시 생겨나죠 이런것을 EHP(electron-hole pair)라고 하며 전자가 역할을 다한 후 정공과 다시 합쳐져 캐리어가 소멸하고 생성될때도 같이 생성되기 때문에 페어라고 부릅니다. 이런 진성 반도체의 경우는 기본적으로 아래와 같은 캐리어 농도를 가집니다.
300K에서 캐리어 농도입니다. 기본적으로 원자의 개수보다는 월등히 적습니다. 캐리어의 농도가 원자의 개수보다 월등히 적다는 것은 부도체에 가깝다고 보면 됩니다. 이제 도핑을 통해서 변화하는 것을 봅시다.
위 식에 도핑 농도를 추가하는 것입니다. 실리콘에 도핑된 Doner의 농도 : Nd 실리콘에 도핑된 Acceptor의 농도 : Na 라고 본후 각각의 반도체에 적용시켜보죠 n형 반도체는 실리콘에 5족 원소를 도핑해 만들기 때문에 전자가 많죠. 전자가 어느정도 있냐를 따지면
총 전자는 기본적인 실리콘 내의 전자와 도너로 인해 생긴 전자의 합 입니다. 그러나 도핑을 하면 기본적인 실리콘의 전자보다 더 많은 전자가 도너로 인해 생성됩니다. 따라서 위와 같은 식으로 근사가 가능합니다. 마찬가지 p형 반도체의 경우도 3족 원소를 도핑하기 때문에 전자보다는 정공이 더 많습니다. 또한 Acceptor로 인해 생긴 정공이 더 많기 때문에 이 역시 근사가 가능하죠
위의 경우는 다수 캐리어의 농도에 관한 내용입니다. 소수캐리어도 알아보죠
위 식을 이용해서 구할수 있는데 n형 반도체의 경우 정공이 소수캐리어 입니다. 즉 P0는 아래의 식으로 구할수 있죠
반대로 p형은 전자가 소수캐리어이기 때문에
쉽죠. 단순 나누기 입니다. 그렇다면 도핑한 반도체는 전자나 정공이 많기 때문에 어떤 하나의 극성을 띄어야 될것 같습니다만, 그렇지 않습니다. 기본 실리콘은 완전한 중성입니다. 여기에 3족 혹은 5족 원소를 도핑하고 나면 전자 혹은 정공이 생성됩니다, 그러나 원자 입장에서는 전자를 하나 잃던지 하나 더 가지고 있는 상황이 되므로 반대의 극성을 갖게 됩니다. 따라서 도핑을 해도 극성이 변하지 않습니다. 이를 식으로 설명하면
즉, 도핑한 원자는 전자를 하나 잃는 것이기 때문에 +극성을 가지게 됩니다. 이런 개념이 Charge Neutrality입니다. 전하량과 캐리어의 전하량을 합치면 중성이 된다는 것이죠
이 캐리어 농도 개념에 페르미 준위 개념을 합칠수 있습니다. 기본적인 개념은 conduction band에서 무한대의 구간까지 에너지 준위에 대해서 적분하면 반도체가 가지는 총 전자 농도가 나옵니다. 이를 이용해서 식이 도출됩니다.(증명은 생략)
위 식은 실제로 반도체 물성에서 뒤에 나올 내용인 pn접합 및 FET,BJT,MOS등에서 활용됩니다. 또한 위식을 아래와 같이 변형하여 사용하기도 합니다.
이런 식들은 반도체의 특성을 분석하는데 다양하게 사용됩니다. 어느정도 캐리어 농도와 페르미 준위에 대한 기본 개념을 정리한것 같네요. 다음장은 좀더 응용을 해보겠습니다 |
페르미 준위 페르미 에너지 - peleumi jun-wi peleumi eneoji
관련 게시물
저작권 © 2024 ko.apacode Inc.
