합성곱, Convolution 연산은 아래와 같이 정의한다. 두 함수 $f, g$에 대해 합성곱 연산 $*$을 적용하면 아래와 같다. 참고로 컨볼루션 연산인지 아닌지 빠르게 판단하는 방법은, 적분식 안에 두 함수가 들어있는데 두 함수의 인자가 더했을 때 일정하면 콘볼루션이다. Show $$(f*g)(t)=\int_0^t f(t-u)g(u)du$$ 라플라스 변환표에 없는 것 같아 추가 서술하자면, $L\{f*g\}=L\{f\}L\{g\}$이다. 다시 말해 합 성곱 연산 후에 라플라스 변환을 한 결과는 라플라스 변환 후 곱한 결과와 같다. (FFT를 통해 다항식의 빠른 곱셈을 하는 것과 같은 원리) 라플라스변환 기출문제 질문드립니다작성자givenkim|작성시간20.04.21|조회수1,267 목록 댓글 1 글자크기 작게가 글자크기 크게가이문제에서 f(t) 함수가 왜 저렇게 세워지는지 모르겠습니다 다음검색 현재 게시글 추가 기능 열기
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저번 문제가 좀 많았나요?ㅋㅋㅋㅋㅋ 저도 푸는데 좀 힘들….었습니다. ㅋㅋ 옛날 기억을 되살리려니 아무래도 책을 뒤지고, 풀이과정을 깔끔히 정리하기 위해 노력하다보니 포스팅이 늦어졌네요 ㅠㅠ 문제들은 제가 이곳 저곳에서 풀어보다가, 반드시 알아야 한다! 하는 문제들을 주로 모아보았습니다. 당연히 kreyszig 아저씨의 책에 실려있는 것도 있죠. 저도 풀면서 몇 가지 헷갈렸던 사항들을 적어드린 후, 본격적인 문제풀이에 들어가도록 합시다. 또한, 이 많은 문제들을 함께 풀고 확인해준, 가끔 댓글도 남겨주는 같은 과 후배 승훈 군에게 감사의 한 마디를 전합니다! ㅋㅋㅋ 시험은 무사히 봤을거라 믿고있습니다. 두 사람이나 풀었지만, 그래도 틀린 부분이 있을 수 있으니 언제든 댓글로 질문/오타지적은 감사히 받아들이겠습니다! 1. shifting말이 필요없을 정도로 헷갈리는 부분이었습니다. ㅋㅋㅋㅋ t-shifting 의 경우에는와가 동시에부호가 붙는 반면, s-shifting 의 경우에는쪽에는부호가 붙지만쪽에는부호가 붙습니다. 사실 지금 쓰면서도 헷갈려서 다시 한 번 확인하고 왔네요 ㅋㅋ 저는 시험 때 정말 답답해서, 알파벳 순서대로니까부호의 개수도 각각 순서대로 1개, 2개 라고 억지로 암기해서 들어갔던 기억이 납니다 ㅠㅠ 게다가, s-shifting 은 직접 ODE를 풀 때 절대로 간단한 풀이가 나올 수 없게 만드는 주적(?)이기 때문에, 잘 연습해두어야 하겠습니다. 2-5번같은 경우가 특히 많이 연습해 두어야할 케이스같네요 ㅎㅎ 2. 부분분수부분분수가 조금만 복잡해지면, convolution 을 이용해야할 지 직접 부분분수로 헤쳐야 할지를 선택해야하는 기로에 놓일 때가 있습니다. convolution 의 경우에는를 처리할 때 적분기호안에 들어가는 함수가 삼각함수…정도만 되어도 아주 귀찮을 거구요, 부분분수로 헤쳐야 하는 경우에는 자칫하다가 미지수가 3개는 가볍게 넘어가는 연립방정식을 풀어야하는 귀찮음이 생깁니다. 물론 문..제를 풀기는 풀어야 하니 어쩔 수 없지만 ㅋㅋ 각자에게 맞고 마음에 드는 방법을 손에 익히시길 바랍니다! 3. 미, 적분 관계와 삼각함수삼각함수가 제곱, 세제곱….이 되어있는 경우에는 미분을 할 경우 잘 정리해서 원래의 세제곱 형태가 나올 수도 있습니다. 그것을 아주 교묘히 활용한 예제가 1-1과 1-3이 되겠네요. 삼각함수는 서로 밀접한 상관관계가 있고, 이것을 잘 이용해서 Laplace transform 결과를 얻어내는 방법을 익혀두면 좋을 것 같습니다. 4. shifted data problems처음 문제를 보고 조금 당황하셨을 것 같아 죄송하네요 ㅋㅋㅋ 3-1-5번 문제가 바로 그것인데, 이 문제는의 초기값이이 아닌 다른 경우가 주어져있었습니다. 이럴 경우에는를 치환해서 다른 문자로 만든 다음 초기값을 0으로 만들어줘야 합니다. 자세한 것은 문제에서 보도록 합시다. ㅋㅋ Problems & answers1. Laplace transform주어진 함수의 Laplace transform 결과를 구하시오.
2. Inverse laplace transform주어진 함수의 inverse Laplace transform 결과를 구하시오.
3. Solving ODE3-1. 아래 미분방정식을 푸시오.
5. 당황하셨….다면 죄송합니다. ㅋㅋㅋㅋ 초기값이이 아닌 경우에 해당하는 문제인데요, 이 경우에는 풀이를 보시다시피 매우 많이 복잡합니다. 전부 shifting 을 시킨 다음 다시 답을 inverse shifting 시켜야 하기 때문이고, 그렇다고 shifting 된 함수를 가지고 계산하는 것이 그리 쉬운 일도 아닙니다. 6.
7. 타이핑을 해준 저의 손가락에 감사를….ㅋㅋㅋㅋ 시험에는 이런 문제가 나오겠죠 ㅠㅠ 3-2. 아래 미분방정식을 Laplace transform 시킨 후,와 그 미분에 대한 식으로 정리하시오.사실 정리를 한 다음에에 대한 ODE를 풀어도 되는데, 문제가 너무 복잡해지고 제가 풀기 귀찮..(?) 풀이가 길어져서 자제했습니다. ㅎㅎㅎ 특히 이 문제를 풀면서 주의해야할 사항은,라던가,,를 구하는 과정입니다. 잘 익혀두도록 합시다.
3-3.에 대해, 아래 물음에 답하시오.저도 풀다가 신기해서 한 번 가져와 봤습니다. ㅋㅋㅋㅋ 자세한 건 아래의 풀이과정을 참조하시면 되는데요, 아마 저 식을 증명하는 다양한 방법 중에 laplace transform 과 convolution을 효과적으로 적용한 방법이 되겠네요. 마무리이렇게, Laplace transform 도 대단원의 막을 내렸고, 이제 저의 ODE포스팅은 끝입니다. 결코 쉽지 않았을 내용을, 제 특유의 의식의 흐름 기법과 함께 하시느라 고생하셨습니다 ㅠ 다음 포스팅에서 Outro로 찾아뵙겠습니다. 뿅! |