사각기둥 겉넓이 공식 - sagaggidung geotneolb-i gongsig

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이번 시간에는 도형을 전개도로 펼쳐서 도형의 겉넓이를 구해 봅시다 이 도형을 두꺼운 도화지로 만들었다면 빨간색 선을 따라 자르면 그림처럼 열리겠죠? 이렇게 펼치면 겉넓이 구하기가 훨씬 쉬워집니다 이 도형의 겉넓이를 구하려면 이 각각의 넓이를 알면됩니다 구해 봅시다 먼저, 파란 부분의 넓이는 얼마일까요? 전개도에서는 이 부분이 됩니다 삼각형이네요 밑변이 12이고 높이가 8이에요 그러므로 이 부분의 넓이는 1/2 x 12(밑변) x 8(높이)로 6x8과 같은 값 즉, 48 입니다 위의 삼각형도 똑같습니다 이 도형에서는 안보이지만 여기 뒷부분 입니다 그러므로 여기도 넓이가 48이에요 이제 옆면의 넓이를 구해 봅시다 여기가 옆면이고 넓이는 14 x 10 입니다 이 부분도 옆면이고 마찬가지로 14 x 10 입니다 이 옆면은 전개도의 이 부분이고 다른 쪽에 하나 더 있습니다 이것의 넓이는 14 x 10 140 이고 이것도 마찬가지로 140 입니다 마지막으로 이 바닥 부분 즉, 밑면의 넓이를 구해야 됩니다 전개도에서는 이 부분이죠 이 넓이는 12 x 14 가 되겠군요 즉, 이 부분의 넓이는 168 입니다 따라서 최종 겉넓이는 48+48=96 두 옆면의 넓이 140+140=280 바닥의 넓이 168 노란색으로 하겠습니다 168 이 수들을 다 더하면 이 도형의 겉넓이를 알 수 있습니다 도형을 돌릴 필요없이 펼쳐서 구하면 됩니다 따라서 96+280+168= 544 입니다 그러므로 이 도형의 겉넓이는 544입니다

사각형의 넓이는 (가로) × (세로)예요. 삼각형의 넓이는 ½ × (가로) × (세로)고요.

그렇다면 직육면체의 넓이는 얼마일까요? 이 글에서는 직육면체 같은 각기둥과 원기둥의 겉넓이를 구하는 방법과 부피 구하는 방법을 공부할 거예요.

원기둥의 부피와 겉넓이는 따로 구하는 게 아니라 각기둥의 부피와 겉넓이 구하는 방법과 똑같아요. 다만 밑면이 원이라서 밑면의 넓이와 밑면의 둘레 길이 구하는 방법에 차이가 있을 뿐이에요. 각기둥의 부피와 겉넓이 구하는 방법에 원의 넓이 공식만 대입하는 거니까 서로 다른 거로 생각하지 마세요.

각기둥의 겉넓이와 부피

기둥의 겉넓이는 입체도형을 펼쳤을 때 얻어지는 기둥의 전개도의 전체 넓이를 말해요. 기둥의 전개도는 밑면 두 개와 옆면들로 되어 있어요. 각각의 넓이를 구해서 서로 더하면 되겠죠.

(기둥의 겉넓이) = (밑면의 넓이) × 2 + (옆면의 넓이의 합)

각기둥은 밑면이 두 개니까 밑면 한 개의 넓이를 구해서 두 배하면 되고요.

옆면의 넓이를 구할 때 옆면의 넓이를 하나씩 구해서 다 더하기보다는 옆면 전체를 하나의 직사각형으로 보고, 한 번에 구하는 게 더 쉬워요. 큰 직사각형의 가로의 길이는 밑면의 둘레의 길이와 같으니까 여기에 높이만 곱해주면 돼요.

직육면체의 부피는 (밑넓이) × (높이)라는 걸 초등학교 때 공부했어요. 직육면체는 대표적인 각기둥이죠? 직육면체뿐 아니라 모든 각기둥의 부피는 (밑넓이) × (높이)에요.

각기둥의 부피와 겉넓이 공식을 정리해보죠.

각기둥의 겉넓이와 부피
각기둥의 겉넓이 = 2 × (밑넓이) + (옆넓이)
각기둥의 부피 = (밑넓이) × (높이) = Sh

원기둥의 겉넓이와 원기둥의 부피

원기둥도 기둥의 한 종류에요. 그래서 겉넓이나 부피를 구하는 방법은 각기둥과 같아요.

원기둥의 겉넓이도 밑면의 넓이와 옆면의 넓이를 더해서 구해요.

밑면이 원이니까 원의 넓이 구하는 공식을 이용해야겠지요? 원의 넓이 공식은 원주율, 원의 둘레, 원의 넓이, 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이에서 해봤어요. 원의 넓이는 πr2이에요.

옆면은 직사각형 하나니까 (가로) × (세로)고요. 위 각기둥의 겉넓이에서 옆면은 (밑면의 둘레 길이) × (높이)로 구했잖아요. 여기서도 같은 방법으로 구하는데, 밑면의 둘레의 길이가 원의 둘레의 길이와 같아요. 반지름이 r인 원의 둘레는 2πr이에요.

원기둥의 부피도 (밑넓이) × (높이)로 구해요. 밑넓이는 πr2이니까 여기에 높이를 곱해주면 되겠네요.

원기둥 밑면의 반지름이 r, 높이가 h일 때
원기둥의 겉넓이 = 2 × (밑넓이) + (옆넓이) = 2πr2 + 2πrh
원기둥의 부피 = (밑넓이) × (높이) = πr2h

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각기둥의 겉넓이와 부피

• 각기둥의 겉넓이 = (밑넓이) × 2 + (옆넓이)
• 각기둥의 부피 = (밑넓이) × (높이)

원기둥의 겉넓이와 부피

• 원기둥의 겉넓이 = 2πr2 + 2πrh
• 원기둥의 부피 = πr2h

2-1. 기둥의 겉넓이와 부피

1. 상자의 두 밑면의 넓이는 같다.

2. 상자의 두 밑면의 넓이와 네 개의 사각형으로 이루어진 옆면의 넓이의 합이다.

* 밑넓이(3*2)*2 + 옆넓이(10*4) = 12 + 40 = 52

1. 밑넓이{(3*4*1/2)*2} + 옆넓이(3+4+5)*6 = 12 + 72 = 84 cm^2

2. 밑넓이{(12+6)*4*1/2} + 옆넓이(24+10)*6 = 36 + 180 + 24 = 240 cm^2

* 겉넓이를 구하는 전개도는 옆면이 직사각형이 되도록 그린다.

* 원기둥의 겉넓이 : 밑면의 넓이*2 + 옆넓이

1. 밑면의 넓이 = πr^2

2. 옆넓이 = 2πr * h

3. r(반지름), h(높이)

4. 원기둥의 겉넓이 = 2*πr^2 + 2πr * h = 2πr(r+h)

1. 2π*2(2+3) = 4π*5 = 20π cm^2

2. (1) 2π*3(3+10)/2 = 3π*13 = 39π cm^2 : 원기둥의 절반 겉넓이

(2) 6*10 = 60 cm^2 : 원기둥의 단면 겉넓이

(3) 60 + 39π cm^2

​

1. 원래 떡의 밑면의 절반은 나뉜 떡의 한 쪽의 밑면의 넓이이다.

2. 원래 떡의 부피는 나뉜 떡의 두 쪽의 부피의 합이다.

* 각기둥의 부피 : 한 밑면의 넓이 * 높이 = SH

* 각기둥의 부피는 한 밑면의 넓이에 따라 달라진다.

* 직육면체의 부피는 한 밑면의 넓이는

1. 직사각형의 넓이 = 가로 * 세로

2. 삼각형의 넓이 * 2 = 가로 * 세로 * 1/2

3. 직사각형에서 세로의 길이가 같은 삼각형은 가로의 길이에 따라 달라진다.

4. 가로가 a이고 세로가 b인 삼각형과 세로가 b이고 가로가 c+d = a가 되는 2개의 삼각형은 서로 넓이가 같다.

5. 즉, 삼각기둥의 한 밑면의 넓이는 직육면체의 한 밑면의 넓이의 1/2이고, 삼각기둥과 직육면체의 높이가 같으므로, 삼각기둥의 부피는 직육면체의 부피의 1/2이 된다.

* 각기둥의 부피 = (한 밑면의 넓이 : 최대한 삼각형으로 나눠서 생각할 것) * (높이)

1. 밑면(2*3/2)*높이(4) = 12 cm^3

2. 밑면(4+6)*5/2*높이(6) = 25*6 = 150 cm^3
 

1. πr^2 * h : π*9*7 = 63π cm^3

2. 큰 원기둥 - 작은 원기둥 : 16π*8 - 4π*8 = 96π cm^3
 

1. 둘레 = 4 = 2πr

반지름 r = 2/π = 2/3.14 = 0.64 m

2. 부피 = 밑면의 넓이 * 높이 = πr^2 * 5 = 4*5/π = 20/π = 6.37 m^3 (π의 길이가 처음부터 3.14로 계산하게 되어 있으므로 정답이 아니다.)

2-1. 부피 = 3.14*5*(0.64)^2 = 6.43 m^3 (π의 길이를 3.14로 계산했을 때 답이 달라진다. 정답임)

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