6학년 2학기 분수의 나눗셈 문제 - 6hagnyeon 2haggi bunsuui nanus-sem munje

그런데, 저는 6학년 담임입니다. 작년에 이어 같은 학년을 연속으로 맡게 되니 조금 해이해진 모양입니다. 정작 수학 첫 차시 수업을 하는데 6학년 1학기에 가르친 내용을 잘못 기억하고 있더라고요.

'분수의 나눗셈'과 '소수의 나눗셈'이란 단원 제목이 1,2학기에 그대로 나오다 보니, 저도 헷갈린 모양입니다. 결국 반성하는 의미로 6학년 2학기 수학 지도 내용도 4학년처럼 정리해보려고 합니다. 실제 제가 수업을 할 내용이고, 작년에도 수업한 내용이니 조금 더 알차게 정리할 수 있지 않을까 기대를 해봅니다.

1단원은 분수의 나눗셈입니다.

이전 학년에서 지도한 분수 개념과 자연수의 나눗셈, 분수의 곱셈 등과 지난 학기에 지도한 (분수) ÷ (자연수)를 바탕으로 (분수) ÷ (분수)를 지도합니다. 2단원 소수의 나눗셈의 세로 계산 알고리즘을 도입하기 전까지 (소수) ÷ (소수)를 (분수) ÷ (분수)로 고쳐 계산하기 때문에, 이번 단원의 학습이 바로 다음 단원과 연결된다고 할 수 있습니다.

우리나라의 경우 일상생활에서 분수의 나눗셈이 필요한 경우가 흔하지 않지만, 중학교 이후에 학습하는 유리수, 유리수의 계산, 문자와 식 등을 학습하는 데 토대가 되는 매우 중요한 내용입니다.

6학년 1학기에서는 (자연수) ÷ (자연수)의 몫을 분수로 나타내기, (분수) ÷ (자연수)의 계산까지만 학습했습니다.

6학년 2학기에는 본격적으로 분수의 나눗셈을 학습하여, 거의 모든 형태의 (분수) ÷ (분수)를 학습합니다.

이 단원에서는 동분모(분모가 같은) 분수의 나눗셈을 먼저 다룹니다. 분모가 같을 때에는 분자의 나눗셈으로 생각할 수 있고, 이는 두 자연수의 나눗셈과 같기 때문입니다. 다음에 이분모(분모가 다른) 분수의 나눗셈을 다루는데, 우리나라에서는 지금까지 측정 상황(포함제)에서 분수의 나눗셈을 도입하였고, 통분을 통해 동분모 분수의 나눗셈을 바꾸어 계산하도록 지도하여 왔습니다.

동분모 분수의 나눗셈은 분수의 나눗셈 의미를 파악하는 데 도움이 되지만, 분수의 나눗셈을 분수의 곱셈으로 바꾸어 표현할 수 있는 원리를 지도하기에는 용이하지 않습니다. 그래서 이 단원에서는 이분모 분수의 나눗셈을 단위 비율 결정 상황에서 도입하고, 이를 통해 분수의 나눗셈을 분수의 곱셈으로 나타낼 수 있는 원리를 지도하고 있습니다.

지도서 내용을 살펴보다 보니 분수의 나눗셈 상황에 대해 공부해야 할 필요가 느껴졌습니다. 열심히 검색해 봤는데, 조금 어렵긴 합니다.

분수의 나눗셈 상황(모델)

1. 등분제
양을 똑같이 나누어 묶음으로 나타낸 것의 한 묶음, 부분의 크기 제수가 자연수인 경우에 주로 등장, 제수가 분수일 경우 똑같이 나눈다는 관점을 사용할 수 없음.

2. 포함제
양을 똑같은 크기로 나눈 것의 묶음의 수, 피제수와 제수의 단위가 같음, 동수누감의 원리 적용, 피제수보다 제수가 클 경우 동수누감의 원리가 적용될 수 없어 포함제 사용이 어려움.

3. 곱셈의 역
곱셈의 역, 배의 역이 나눗셈 상황임을 이용, 문장제에 배가 등장해야 함. 곱하는 수나 곱해지는 수 중 하나와 곱이 제시되어 나머지 하나를 구하는 것.

4. 단위 비율 결정
불특정한 비율로 주어진 값을 기준 단위(1시간, 통, 개)에 대한 값으로 환산하는 것

5. 카테시안 곱의 역
카테시안 곱: 양과 양의 곱에서 새로운 양이 나타나는 것 가로 *세로 = 넓이 밑넓이* 높이= 부피
그의 역이 나눗셈 상황
[출처] 수학 각론: 분수의 나눗셈|작성자 라임

이렇게 다섯 가지 상황을 이용하여 분수의 나눗셈을 다뤄야 하지만 각각의 상황을 모두 대응시키는 것이 오히려 혼란스러울 수 있습니다. 그래서 '포함제'와 '등분제' 두 가지로만 나누어 생각하는 것이 좋습니다.

일상생활에서 포함제는 '똑같이 나누었을 때 묶음(배)의 수를 구하는 경우'입니다. 즉, '빵 12개를 한 명에게 4개씩 주면 몇 명에게 나누어줄 수 있는가?'는 12 ÷ 4로 나타낼 수 있는 전형적인 포함제 상황입니다.

등분제는 '똑같이 나누었을 때 한 몫(단위)의 수량을 구하는 경우'입니다. '빵 12개를 4명이 똑같이 나누어 주면 한 사람이 몇 개씩 가지게 되는가?'는 12 ÷ 4로 나타낼 수 있는 등분제의 전형적인 예입니다. 하지만 나누는 수가 분수인 경우는 이런 등분제가 자연스럽지 않습니다. 이를 위해 수학자들이 내놓은 새로운 상황이 바로 '단위 비율 결정' 상황입니다. 일각에서는 새로운 상황이 아니라 등분 상황의 특수한 경우 또는 등분 상황의 확장이라고 보기도 합니다.

하지만 수학을 전공하지 않은 제 입장에서는 '등분제' 상황이든 '단위 비율 결정' 상황이든 큰 차이가 나지는 않아 보이고, 지도서에서도 실제 분수 나눗셈 지도 시 중요한 것은 아니므로 단위 비율 결정 상황이라고 하자며 마무리하고 있습니다.

학생들은 이 상황이 나눗셈으로 표현할 수 있음을 모를 수 있습니다. 하지만 상황에 주어진 분수를 간단한 자연수로 바꾸어 어떤 연산이 필요한지 살펴보면 조금 쉬워집니다. '조개 6kg을 캐는 데 2시간이 걸린다면 1시간 동안 캘 수 있는 조개는 몇 kg일까?'로 생각해 보면 주어진 상황이 나눗셈 상황임을 이해할 수 있습니다.

(자연수) ÷ (분수)를 구체적으로 지도하기 위한 그림과 발문입니다. 1시간 동안 캘 수 있는 조개의 무게를 묻는 과정을 통해, 분수의 나눗셈을 분수의 곱셈으로 바꾸는 원리를 설명할 수 있게 됩니다.

(분수) ÷ (분수)로 나타낼 수 있는 단위 비율 결정 상황에서 분수 나눗셈 알고리즘을 지도하는 방법입니다. 역시 (자연수) ÷ (분수)에서 다룬 단순화 전략을 사용할 수 있습니다. 역시 그림과 발문을 통해 분수의 나눗셈을 분수의 곱셈으로 바꿀 수 있음을 설명하고 있습니다.

1단원은 10차시 구성입니다. 1차시 단원 도입에서는 실생활에서 분수의 나눗셈이 필요한 상황을 이해하는 활동과 선수 학습을 확인합니다. 특히 이분모 분수의 나눗셈을 학습하기 위해 분모가 다른 두 분수의 분모를 같게 통분할 수 있는지 확인할 필요가 있습니다.

연산 문제 복습에는 역시 일일수학이 최고입니다. 5학년 1학기 4단원 약분과 통분 문제를 뽑아서 아이들과 풀어볼 필요가 있습니다. '크기가 같은 분수 만들기', '분수의 통분(곱을 공통분모로)', '분수의 통분(최소공배수를 공통분모로)' 등의 세 차시 문제를 충분히 풀어볼 필요가 있습니다. 아침 시간마다 한 장씩 풀게 하면 좋겠습니다.

2-3차시는 분모가 같은 분수의 나눗셈입니다.

특히 2차시에서는 1단원에서 유일하게 준비물이 필요합니다. 하지만 필수 활동은 아니지만 직접적인 조작 활동은 학생들의 이해를 높일 수 있습니다.

자석 분수 막대를 구입해놓았다면 더 좋겠지만, 전자 저작물에서 분수 막대 띠를 제공하고 있습니다. 한글 파일로 제공되어 출력도 쉽습니다. 분수 막대를 이용해서 분수의 나눗셈을 자연수의 나눗셈으로 변환하는 알고리즘을 충분히 연습하면 좋겠습니다.

이분모 분수의 나눗셈 역시 구체물 조작 활동이 가능합니다. 1/2 ÷ 1/4의 경우 1/2 안에 1/4가 몇 조각이 포함될 수 있는지 직접 눈으로 확인이 가능합니다. 결국 1/2 ÷ 1/4 = 2임을 구체적 조작을 통해 알 수 있습니다.

2-5차시 활동을 통해 분수의 나눗셈을 분수의 곱셈으로 나타내어 계산하는 단계, 즉 알고리즘을 완성하는 차시입니다. 다양한 모델과 구체적 조작 활동을 통해 알고리즘을 완성한 뒤에는 연산 유창성을 확보할 필요가 있습니다. 역시 전자 저작물의 형성평가, 단원평가, 일일수학 등을 활용해 연산을 연습할 필요가 있습니다.

수준 높은 문제를 풀기 위해서는 고차원적인 사고를 하는데 에너지를 쏟아야 합니다. 간단한 연산에 에너지를 쏟거나, 실수를 하지 않도록 연산 유창성을 향상시켜주시면 좋겠습니다.

1단원 수업을 들어간 뒤에 정리한 거라 조금 어수선합니다. 그래도 연산 영역이기 때문에 알고리즘 이해와 연산 유창성 확보가 가장 중요합니다. 저도 내일 아침 시간을 위해 일일수학 학습지 한 장을 출력해놓고 왔습니다. 조금 지루하더라도 확실하게 알고리즘을 자기 것으로 만들 수 있는 시간이 되도록 노력해야겠습니다^^