우함수 적분하면 기함수 - uhamsu jeogbunhamyeon gihamsu

포스트내용

  우, 기함수와 미분에 대해서 살펴 봅니다. 간단하게 우함수를 미분하면 기함수가 되고 기함수를 미분하면 우함수가 된다는 내용입니다. 그 외 미적분1에 관련된 강의를 보려면 여기를 클릭하시고 미적분2에 관련된 내용을 보려면 여기를 클릭하세요.

우함수와 기함수

 기함수는 를 만족하면 함수 는 기함수 였습니다. 이것과 관련된 내용은 여기에 있죠. 클릭

우함수와 기함수의 미분

  합성함수의 미분법을 통해서 우리는 우함수를 미분하면 기함수가 되고 기함수를 미분하면 우함수가 된다는 사실을 쉽게 증명할 수 있습니다.

예제와 연습문제

 간단한 예제를 통해서 연습해 봅시다.

미분가능 한 함수 가 임의의 실수 에 대하여 를 만족시킬 때, 다음 중 와 같은 것은?(단, 는 실수이다.)

 에서 양변을 미분하면

이므로 이다.

따라서 이다. 

최고차항의 계수가 인 사차함수 가 다음 조건을

만족시킬 때, 의 값은?

(가) 모든 실수 에 대하여 이다.

(나)

(나)에서 극한값이 존재하고, 일 때

(분모)이므로 (분자)이어야 한다.

이 때,

그런데 (가)에서 이므로

함수 의 그래프는 축에 대하여 대칭이다.

따라서 도함수 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 

어떤 함수 가 우함수(Even function)라는 말은 모든 x에 대해서 가 성립한다는 뜻입니다. 몇 가지 예를 들자면,

미적분을 배우게 되면서 문제집 등에서 흔히 볼 수 있는 증명 문제 중에,

"우함수를 미분하면 기함수가 됨을 증명해라" (또는 "기함수를 미분하면 우함수가 됨을 증명해라") 가 있습니다. 두 문제의 풀이가 비슷하기 때문에 우함수를 미분하면 기함수가 된다는 것만 보이면 아래와 같습니다.

[풀이] f(x)를 우함수라고 하고 이를 미분한 함수를 f'(x)라 하자. 그러면,

따라서, f'(x)는 기함수가 된다.

그런데, 이것을 (비록 엄밀한 증명은 아닐 지 모르지만) 그림으로 나타내어 이해를 도울 수 있는 방법이 있어서 소개해 봅니다. 출처는 Raman, M. J. (2002). Proof and Justification in Collegiate Calculus. Ph.D. dissertation, University of California, Berkeley, United States. 입니다.

그림은 1) 우함수의 그래프가 y축에 대해 대칭이라는 사실과 2) 어떤 점에서의 도함수(미분한 함수)는 그 점에서의 접선의 기울기를 나타낸다는 사실을 이용한 것입니다. 그림에서 볼 수 있듯이 점 (x,f(x))에서의 기울기는 점 (-x,f(-x))에서의 접선의 기울기와 값은 같되 부호가 정 반대가 될 것입니다. 따라서, 우함수의 도함수는 기함수가 되겠지요.

Raman의 논문에는 포함되어 있지 않습니다만, 위에 제시한 두번째 문제 "기함수를 미분하면 우함수가 된다"는 것도 이렇게 그림으로 설명해 볼 수 있습니다. 이 글을 읽으시는 분들이 직접 한번 그려 보시기 바랍니다.

수학적인 능력을 기르는 데에 엄밀한 증명이 물론 중요하겠지요. 그렇지만 여러가지 방법으로 설명해서 다양한 수준의 독자들의 이해를 돕는 것도 중요하지 않을까 생각해 봅니다.