루트 근사값 구하기 - luteu geunsagabs guhagi

안녕하세요! ryanhan입니다.
오늘은 제곱근의 근삿값을 구하는 방법을 소개해보려고 합니다.
루트2라고 하면, 제곱해서 2가 되는 수입니다.
중학교 수학에서 등장하여, 어디든지 사용됩니다.

그런데, 루트2라는 수는 잘 와 닿지 않습니다.
중학교 제곱근 파트에서 가장 기본 문제가 대소비교인데,
루트2가 대충 어느 정도 숫자인지 그 근삿값을 아는 것은
제곱근의 이해에 큰 도움이 될 것입니다.
그래서 오늘은 제곱근의 근삿값을 구해보겠습니다.

단순하게 가자. 제곱해봐

제곱근의 근삿값을 구하는 가장 단순한 방법은,
그냥 숫자를 점점 가깝게 추측해서 제곱해보는 것입니다.
예를 들어, 1X1=1이고, 1.5X1.5=2.25에서
1 < 루트 2 < 1.5 라는 것을 알 수 있습니다.

그리고, 1.4X1.4=1.96에서
1.4 < 루트2 < 1.5

1.41 X 1.41 = 1.9881 , 1.42X1.42=2.0164에서,
1.41 < 루트2 < 1.42임을 알 수 있습니다.

이 방법으로 점점 자세하게 구하다 보면,
A< 루트2 <B 인 상황에서
루트2와 (A+B)/2 의 대소비교를 통해
더욱 쉽게 구할 수 있다는 것을 알게 됩니다.

정말 유용한, 바빌로니아 방법

그런데, 제곱을 하다 보면 정말 머리가 아픕니다.
6자리 곱하기 6자리만 해보더라도 보통일이 아니죠.
바빌로니아 방법이라고 불리는
제곱근 근삿값을 구하는 방법은
‘제곱하는 과정’이 없습니다.

먼저 바빌로니아 방법을 소개하자면,

고대의 바빌로니아 사람들은
어떻게 이런 방법을 알아냈을까요??
다음 포스팅에서 한 번 생각해보겠습니다.
감사합니다.
ryanhan이었습니다.

바빌로니아 법은 랜덤의 임의의 수의 제곱근에 빠르게 접근하는 수열을 만들어서 쉽게 근사값을 구할 수 있는 방법이다.

문자나 수식을 보면 머리 아프니깐 간단한 예를 들어보자.

예컨대 루트11의 근사값을 구해보자.

제곱수인 9와 16을 이용해서 루트9=3이고 루트16=4이므로 루트11은 계산기 없이 대충 생각해도 3.xxxxxx의 값임을 짐작할 수 있다.

그럼 바빌로니아 알고리즘으로 3.xxxxxx의 xxxxxxxx값들을 구해보자.

1. 양수인 임의의 Xo를 선택한다. 위에서 보았듯이 루트11에 근접한 수는 3이다. 3을 택하겠다. 근데 굳이 3을 택하지 않아도 된다. 그냥 양수만 선택해도 된다. 단지 찾고자하는 값의 근사값부터 시작하게 된다면 계산을 반복하는 수가 줄어들기 때문이다.

2.a를 루트안의 수로 두고 Xo를 선택한 3을 넣고 두 세번 반복해준다.

그럼 대충 값이 나온다.

실제 루트11의 값은 3.3166247903553998491149327366707................으로 나온다.

참고

루트에 익숙치 않은 이들을 위해

동영상 대본

이번 영상에서는 예제 몇 개를 풀어보며 완전제곱이 아닌 제곱근의 값을 어림해 보겠습니다. 예를 들어, √32의 대략적인 값을 어림하려면 √32가 어떤 두 정수 사이에 있는지 알아보아야 하는데 그러려면 32가 어느 두 제곱수 사이에 있는지 알아보면 됩니다. 32보다 작으면서 32에 가장 근접한 제곱수는 무엇일까요? 25입니다. 32보다 작고 5의 제곱이지요. 다시 쓰면 5의 제곱은 32보다 작습니다. 32보다 큰 최소의 제곱수는 무엇인가요? 32는 36보다 작으니까 6의 제곱보다 작다고 쓸 수 있군요. 모든 숫자에 근호를 씌워주면 '√32 는 5보다 크고 6보다 작다'고 쓸 수 있습니다 위의 부등식에서 각 숫자를 모두 제곱해 주면 아래의 부등식이 되고, 여전히 부등식은 성립합니다. √32 는 5와 6 사이에 있으므로 5를 조금 넘는 값(5.xx)일 것입니다. 다른 문제를 풀어봅시다. 이번에는 √55가 어떤 정수 사이에 있는지 알아보겠습니다. 앞서 푼 것과 같은 방식입니다. √55를 제곱하면 55지요. 55는 어떤 완전제곱수 사이에 있을까요? 55 미만의 제곱수 중 가장 큰 제곱수는 6의 제곱이 36, 7의 제곱은 49 8의 제곱은 64이므로 여기 들어갈 정수는 49입니다. 7의 제곱이라고 쓰겠습니다. 55보다 큰 최소의 제곱수는 무엇일까요? 7의 제곱 다음인 8의 제곱이 되겠군요. 64입니다. 8의 제곱과 같지요. 55는 √55를 제곱 한 것이지요. 그래서 √55는 어떤 두 수 사이에 있나요? 7과 8 사이에 있습니다. √55는 7보다 크고 8보다 작습니다. 만약 √55는 얼마냐고 누가 질문하면 모른다거나 계산기가 없다고 하시지 말고 55가 49와 64 사이에 있으니 √55는 7.xx라고 하시면 됩니다. 49과 64에서 얼만큼 떨어져 있는지를 보고 대략 7.1이라고도 할 수 있지요. 한 문제만 더 풀어봅시다. √123이 어디에 위치하는지 알아봅시다. 동영상을 멈추고 스스로 생각해보세요. √123이 어느 두 정수 사이에 있는지 말입니다. √123을 제곱하면 123입니다. 123보다 작은 제곱수 중 가장 큰 것은 무엇일까요? 10의 제곱은 100, 11의 제곱은 121, 그리고 12의 제곱은 144입니다. 그러므로 여기 들어갈 숫자는 11의 제곱이며 이것은 123보다 작습니다. 123은 144, 즉 12의 제곱보다 작습니다. 근호를 씌우면 √123은 11보다 크고, 12보다 작습니다. (144는 오류입니다.) 그러므로 √123은 11.xx일 것입니다. 123은 144보다 121과 더 가까우므로 대충 11.1 정도일 것입니다. 확실한지는 잘 모르겠고, 계산기로 확인해야 합니다. 저런, 실수를 했네요. 144가 아니라 12지요. 부등호는 성립하지만 제곱근이므로 12입니다. 유익한 강의였기를 바랍니다.