특수한 각의 삼각비, 30°, 45°, 60°에서 했던 내용 기억하죠? 특수한 각의 삼각비를 공부했고요. 삼각형을 그려놓고 각을 알려준 다음에 삼각형 변의 길이를 구하는 예제를 풀어봤어요. 이 글에서도 직각삼각형에서 삼각형의 변의 길이를 구하는 걸 할 거예요. 대신 특수한 각이 아니라는 게 다를 뿐이죠. 전에는 sin30°의 값을 외워서 했다면 이제는 30° 대신 다른 예각이 들어가고, 해당하는 삼각비 값을 알려줘요. sin30° 자리에 다른 예각의 sin 값을 넣으면 되는 거예요. 방법은 똑같고 각의 크기만 달라지는 거니까 어렵지 않아요. 삼각비의 정의를 잘 이용하면 됩니다. 직각삼각형 변의 길이△ABC에서 ∠C = 90°이고, 세 변의 길이를 a, b, c라고 할 때 한 변의 길이와 직각이 아닌 한 각의 크기를 알면 다른 두 변의 길이를 구할 수 있어요. 물론 각을 안다는 건 그 각의 삼각비를 안다는 뜻이에요. 각만 알고 삼각비를 모르면 삼각비표를 보면 돼요. 크기를 알고 있는 각이 ∠A라고 해보죠. 한 각의 크기와 한 변의 길이를 알고 있을 때 다른 두 변의 길이를 알 수 있다고 했지요? 한 각은 알고 있으니 어떤 변의 길이를 알고 있는지에 따라 길이를 구해야 하는 다른 두 변이 달라지겠죠? ∠A와 빗변의 길이(c)를 알고 있을 때높이(a)와 밑변(b)의 길이를 구해야겠죠? 빗변을 알고 있으니까 높이와 빗변의 식인 sinA와 밑변과 빗변의 식인 cosA를 사용해서 길이를 구해요.
∠A와 높이(a)를 알고 있을 때빗변(c)과 밑변(b)의 길이를 구해야겠죠? 높이를 알고 있으니까 높이와 빗변의 식인 sinA와 높이와 밑변의 식인 tanA를 사용해서 길이를 구해요.
∠A와 밑변의 길이(b)를 알고 있을 때빗변(c)과 높이(a)를 구해야겠죠? 밑변을 알고 있으니까 빗변과 밑변의 식인 cosA와 밑변과 높이의 식인 tanA를 사용해서 길이를 구해요.
위에 총 여섯 개의 공식이 나왔는데, 이걸 외울 수는 없어요. 그러니까 공식을 외우지 말고, 공식의 첫 줄에 나와 있는 것처럼 이런 식으로 쓴 다음에 문자를 이항하고 값을 대입해서 그냥 푸세요. 다음 직각삼각형에서 한 각이 40°이고, 그 대변의 길이가 6cm일 때, 다른 두 변의 길이를 소수 둘째 자리까지 구하여라. (단, sin40° = 0.64, tan40° = 0.83이고 소수 셋째자리에서 반올림할 것) 한 각의 크기와 높이를 줬네요. 구해야 하는 길이는 빗변과 밑변의 길이고요. 빗변과 높이의 식인 sin과 밑변과 높이의 식인 tan를 이용해서 구해야겠군요.
빗변은 9.38cm, 밑변은 7.23cm네요. 함께 보면 좋은 글삼각비, sin, cos, tan 직각삼각형에서 한 각의 크기와 한 변의 길이를 알면 다른 두 변의 길이를 알 수 있다.
일반삼각형에서 세 변의 길이를 구하는 방법을 알아보죠. 그런데 아무 삼각형이나 세 변의 길이를 구할 수 있는 게 아니에요. 몇 가지 조건이 있어야 해요. 삼각형의 세 가지 합동조건 알고 있죠?. 세 변의 길이가 같을 때, 두 변과 그 끼인 각이 같을 때, 한 변의 길이와 양 끝각이 같을 때지요. 일반삼각형에서 세 변의 길이를 구할 수 있는 조건도 같아요. 그중 하나인 세 변의 길이를 알 때는 문제의 목적에 맞지 않으니까 나머지 두 개의 조건만 있으면 되겠죠? 두 변의 길이와 끼인 각을 알 때, 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때요. 직각삼각형 변의 길이를 구할 때와 마찬가지로 각의 크기를 안다는 건 그 각의 삼각비를 안다는 거에요. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때두 변의 길이를 알고 있으니까 나머지 의 길이만 구하면 되겠네요.삼각형의 높이와 넓이에서 했던 방법과 비슷해요. 제일 먼저 삼각형의 한 점에서 수선을 내려서 두 개의 직각삼각형으로 나누어야 해요. 이때 어떤 점에서 수선을 내릴 것인지가 중요한데요. 여러 가지로 표현할 수 있겠지만, 길이를 아는 한 변과 크기를 아는 각이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내리면 돼요. 여기서는 점 A와 점 C 둘 중 아무 데서나 대변으로 수선을 내려도 되는 거지요. 점 A에서 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 할게요. ∠B와 가 한 삼각형 안에 포함되었죠? △ABH와 △ACH가 생겼어요. △ABH에서 △ACH에서 △ACH에서 높이와 밑변의 길이를 구했으므로 빗변인
의 길이는 피타고라스의 정리로 구할 수
있어요. 이거는 공식 아니에요. 외울 필요가 없어요. 구하는 과정만 잘 이해하면 됩니다.
다음 △ABC에서 a = 8cm, c = 5cm, ∠B = 60°일 때 의 길이를 구하여라. 두 변의 길이와 그 사이의 끼인각의 크기를 알려줬네요. 길이를 알려준 변과 크기를 알려준 각이 한 직각삼각형이 되도록 수선을 그어보죠. 점 A에서 대변으로 그었더니 아래 그림처럼 되었어요. △ABH에서 의 길이를 구했으니까 △ACH에 피타고라스의 정리를 적용해보죠. 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기를 알 때한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때에요. 길이를 구해야하는 변이 두 개네요. 여기서 제일 먼저 해야 할 게 있어요. 두 개의 각의 크기를 알려줬어요. 삼각형 내각의 합은 180°에요. 이 걸 이용하면 다른 한 내각의 크기도 알 수 있겠죠? ∠A = 180° - (∠B + ∠C)이죠. 결국, 두 개의 각의 크기를 알려줬다는 건 세 개 모두 알려준 거나 마찬가지에요. 이번에도 마찬가지로 보조선을 그어서 두 개의 직각삼각형으로 나눠야해요. 방법은 위와 같아요. 길이를 아는 변과 크기를 아는 한 각이 직각삼각형에 포함되도록 보조선을 그으면 됩니다. 점 C에서 대변으로 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. ∠B와 가 한 직각삼각형안에 포함되었네요. △BCH와 △ACH가 생겼어요. △BCH에서 △ACH에서 일단, 한 변의 길이를 구했어요. 이제 점 C가 아닌 점 B에서 대변으로 수선을 내려서 위와 같은 방법으로 구하면 다른 한 변의 길이도 구할 수 있어요.
다음 △ABC에서
의 길이를 구하여라. 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알려줬네요. 삼각형의 내각의 합을 이용해서 다른 한 각의 크기도 알 수 있죠? 180° - (75° + 45°) = 60°에요. 크기를 알려준 한 각과 길이를 알려준 한 변이 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내려보죠. 점 A에서 수선을 내려볼게요. △ACH에서 △ABH에서 함께 보면 좋은 글삼각비, sin, cos, tan 일반 삼각형 변의 길이 구하기
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