전달함수 라플라스 변환 - jeondalhamsu lapeullaseu byeonhwan

오늘은 라플라스 변환을 이용한 회로 해석에서, 전달 함수(transfer function)와 컨볼루션(convolution)에 대해 알아보자.

1. 전달 함수(transfer function)
(※전달 함수는 선형 시불변 시스템(LTI, linear time invariable system) 에서 정의된다.)

ㄱ. 정의와 의미
전달 함수란, 입력과 출력 사이의 관계에 대한 함수이다. 정확히 말하자면, s-영역(라플라스변환)에서의 관계이다.
입력을 x(t) 출력을 y(t)라고 하고, 이들의 라플라스 변환을 X(s)와 Y(s)라고 하면 전달 함수는 다음과 같이 정의한다.

한 회로에서 전달 함수는 여러가지가 있을 수 있다. 입력과 출력을 어떤 것으로 정하느냐에 따라서 전달 함수는 달라진다. 예를 들어, 아래 회로에서

예를 든 회로. 저번 포스팅에 썼던 회로 재탕.
출력값을 8.4H 인덕터에 걸리는 전압이라고 정해도 되고, 48Ω 저항에 흐르는 전류라고 해도 된다. 만약 회로가 다수의 독립 전원을 가진다면 하나의 출력에 대한 응답을 구하기 위해 중첩(superposition)을 이용할 수 있다.

항상 함수(function)이란 말이 나올때는, 그 의미에 대해 생각할 필요가 있다. 어떤 함수를 알고 있다면 여러가지 입력에 대해 출력을 알아낼 수 있다. 어떤 시스템의 전달 함수를 알고 있다면(또는 알아낼 수 있다면) 입력 값이 바뀌어도 출력 값을 알아 낼 수 있다. 다시 말해 어떤 전기 회로의 전달 함수를 알고 있거나 알아낼 수 있다면 여러가지 전원에 대한 출력값들을 회로 분석 없이 알아낼 수 있다.

ㄴ. 극점(pole)과 영점(zero)
유리 함수에서 분모가 0이 되는 점(해)을 극점(pole), 분자가 0이 되는 점(해)을 영점(zero)라고 한다.

s-영역에서, 유리 함수의 극점(pole)은 응답의 상태에 영향을 미친다. (무슨 의미인지는 ㄷ.예제 를 보면서 생각해보자)

회로의 출력을 수식으로 나타내면

이때 H(s)의 극점에 따라 발생하는 항은 과도 응답을 결정하고, X(s)의 극점에 따라 발생하는 항은 정상상태를 결정한다.

ㄷ. 예제
① 회로의 전달 함수 구하기(ㄱ)
아래에 예시로 든 회로의 전달 함수를 유도해 보자. 입력은 미지 전원 vg이고 출력은 캐패시터에 걸리는 전압 v0으로 설정하자.

키르히호프의 전류 법칙을 사용한 다음, 입력과 출력 사이의 관계를 알아야 하므로, 한 문자에 대해 정리하면

② 전달 함수 해석하기(ㄴ)
위에 예시로 들었던 회로에 전원을 달아보자. vg = 50t인 (t>0)전압원을 달아보자.

50t를 라플라스 변환하면 50/(s2)이다. 따라서

부분 분수 전개를 하면 (항상 이 과정이 짜증난다.)

역 라플라스 변환을 하여 시간 영역으로 옮기면

이제 응답의 과도 요소와 정상상태 요소에 대해서 살펴보자.
과도 요소는

인데, 이 항은 전달함수의 극점에 의해서 생겼다.
정상상태 요소는

인데, 이 항은 입력 전압의 극점에 의해 생겼다.

2. 전달 함수와 컨볼루션

전달 함수의 정의를 다시 한번 보자.

만약 x(t)가 단위 임펄스 함수라면, 라플라스 변환은 1이 되므로 다음이 성립한다.

이 말은 전원(입력)이 임펄스로 충전된 에너지를 방출 할 때, 회로는 자연 응답을 발생시킨다는 것이다. 이때의 응답 h(t)을 알면 임의의 전원에 대한 응답을 구할 수 있는데, 이때 컨볼루션(convolution)을 이용한다.

컨볼루션은 입력(전원)과 시스템(회로)의 연산을 통해 출력(응답)을 얻는 방법이다. 전달 함수와 컨볼루션 사이의 관계는 다음과 같다.

컨볼루션을 사용하면 다음과 같은 이점이 있다.

ⓐ 시간영역에서 x(t)와 h(t)의 실험 데이터를 알아냈을 때, 라플라스 변환을 하기가 어려운 경우가 있는데, 컨볼루션을 사용하면 시간영역에서 그대로 출력 y(t)를 구할 수 있다.
ⓑ 기억(memory)와 가중(weighting)의 개념을 회로 해석에 사용해서, 그 회로의 이해도를 높일 수 있다.

간단한 컨볼루션 계산을 예를 들어 해보자.

왼쪽 회로에 입력을 넣을건데, 오른쪽과 같은 전압을 넣는다고 해 보자. 이때 출력은 저항에 걸리는 전압이다.

전달 함수를 구하면

입력 전원이 구간에 따라서 다른 함수이므로, 구간을 나눠서 계산하자.

ⓐ t가 0에서 5초일때

3. 전달 함수와 정현파 응답의 정상 상태

전달 함수를 구해 놓으면, 정상 상태 응답을 알아내기 위해 페이저 변환 해석을 할 필요가 없다. 1에서 전달함수와 입력의 극점에 대해 논하였는데 이를 이용하여 정상상태를 알아낸다.

입력(전원)이 정현파라면

라플라스 변환을 하면(삼각함수 덧셈정리를 이용하자)

왼쪽 두 항은 입력에 의해 생긴 항이고, 나머지 항들은 전달 함수 H(s)에 의해 생긴 항이다. 이때, H(s)의 극점은 복소 평면에서 왼쪽에 위치하므로, 정상상태 응답에 기여하지 않는다. 따라서, 정상상태 응답을 구하려면 K값만 구하면 된다!

부분 분수 전개에서 계수를 구하는 방법에 의해서,

이다. (θ는 H(jw)의 위상각이다.) 이때, K는 주파수 w에 의해서만 결정된다.

이제 이 값을 대입해서 역 라플라스 변환을 하면 정상 상태 응답 해를 구할 수 있다.

H(s)와 H(jw)의 관계는 시간과 주파수 사이의 연결고리(?)가 된다. 같은 위상과 크기의 정현파, 같은 회로 구성이라고 해도 주파수에 따라서 그 응답은 달라진다.
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