자취의 방정식 수능 - jachwiui bangjeongsig suneung

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원 $x^2+(y-1)^2=9$ 위의 점 $\rm P$ 가 있다. 점 $\rm P$를 $y$ 축의 방향으로 $-1$ 만큼 평행이동한 후 $y$ 축에 대하여 대칭이동한 점을 $\rm Q$ 라 하자. 두 점 $\rm A \left ( 1, \; - \sqrt{3} \right ), \; B \left ( 3, \; \sqrt{3} \right )$ 에 대하여 삼각형 $\rm ABQ$ 의 넓이가 최대일 때, 점 $\rm P$ 의 $y$ 좌표는? 

① $\dfrac{5}{2}$          ② $\dfrac{11}{4}$          ③ $3$          ④ $\dfrac{13}{4}$          ⑤ $\dfrac{7}{2}$

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자취의 방정식이란 조건을 만족하는 점의 집합을 말합니다. 예를 들어 아주 간단한 자취의 방정식을 구해 봅시다.

라고 했을 때 같은 점들을 찍어 봅시다.

여러 점들이 생각 나지요?

그것을 좌표평면에 나타내면

그렇습니다. 입니다.

이것은 눈에 잘 보이는 누구나 상상할 수 있는 자취의 방정식입니다.

그러나 바로 짐작이 되지 않는 경우도 있습니다.

고등학교 과정의 수학부터는 눈에 잘 보이지 않는 것을 눈에 잘 보이도록 하는 도구를 배웁니다. 그것이 좌표입니다. 도형을 좌표평면 위에 올려놓고 대수적인 방법을 통해서 쉽게 해결을 할 수 있도록 한 것입니다.

 방정식을 기하와 연관시켜서 좌표평면에서 해결하는 수학을 “해석기하”라고 합니다.

그러면 자취의 방정식을 구하는 방법은 어떻게 합니까?

구하고자 하는 점을 라고 놓고 와 의 관계식을 얻어 냅니다.

예를 하나 보도록 하겠습니다.

와 에서 거리가 같은 점의 자취의 방정식을 구하시오.

이 문제를 보고 상상이 바로 가능한 사람도 있습니다.

선분 의 수직이등분선의 방정식이죠.

잘 보이지 않는 다구요? 그래서 우리는 도형들을 좌표평면에 놓고 해결합니다.

일단 구하고자 하는 점을 라고 놓죠,

문제에서 주어진 조건은 입니다.

두 점 사이의 거리 공식에 의해

이것을 제곱하면

즉 입니다.

위의 그림에서 빨간선이 방금 구한 입니다.

문제를 다시 살펴봅시다.

“ 와 에서 거리가 같은 점의 자취의 방정식을 구하시오.” 

위의 결과의 그래프를 봅시다.

빨간선 위의 모든 점은 두 점과의 거리가 같다는 것이 보입니까?

우리는 방금 조건을 이용하여 방정식을 얻어 내어서 좌표평면에 그렸습니다.

이것 보다 더 복잡한 문제들은 당연히 머릿속에 상상으로 원하는 결과를 얻어 내기 힘들 것입니다. 그래서 우리는 자취의 방정식을 배웁니다. 눈에 보이지 않는 것들을 대수적인 연산을 통해서 결과를 알 수 있는 것이죠.