한계효용 체감의 법칙 미분 - hangyehyoyong chegam-ui beobchig mibun

*효용 

재화나 서비스를 소비함으로써 얻게 되는 주관적인 만족의 크기

*효용함수

효용과 소비하는 재화량간의 함수관계

효용(만족감)의 크기를 수치화한 개념이에요. 기수적 효용이라고도 하죠.

예를 들면 사이다 1병의 만족감은 3이다 이런식으로..

*한계효용

소비단위를 하나씩 증가시킬 때마다 추가적으로 늘어나는 효용

예)사이다 2캔을 먹은 상태 -> 사이다 1캔을 더 먹을 때 -> 늘어나는 만족감(한계효용)

*한계효용체감의 법칙

재화의 소비단위가 늘어날 때마다 느끼는 효용(만족감)이 감소하는 것

예)사이다 1개 먹을 때 만족감 -> 사이다 2개 먹을 때 만족감 -> 사이다 3개 먹을때 만족감

점점 줄어들죠.

- 사이다를 먹을때의 효용이 이렇다고 해봐요.

- 이것을 그래프로 표현하면!!

MU가 0이 되는 시점에 총효용은 최대가 되네요.

-> MU가 0이 되는 점을 극대만족점이라고 해요.

극대만족점이후로 소비량을 증가시키면 어떻게 될까요?

총효용이 오히려 감소하게되죠.

사이다 3병 먹었을 때 만족감이 극대라면 4병 먹으면 만족감이 늘어나는 게 아니라 오히려 속이 더부룩해지겠죠.

*한계효용은 효용함수의 기울기이므로 효용함수를 미분하면 한계효용함수가 되구요.

*반대로 한계효용함수를 적분하면 효용함수가 되겠죠. 

두개의 재화 X, Y 가 있습니다.

X재화나 Y 재화의 소비량을 점차 늘려나갈 때, 각 재화의 소비량으로부터 발생하는 효용의 증가분이 점점 감소하는 것을 한계효용 체감의 법칙 (Law of Diminishing Marginal Utility) 이라고 하죠.

주의할 것은 한계효용이 +값을 갖는 한, 한계효용이 체감한다고 하더라도 총효용은 증가한다는 사실입니다.

  한편, X,Y를 소비할 때 그 소비자가 가지고 있는 돈(예산)이 고정되어 있다고 합시다.
두 재화를 예산이 고정된 상태에서 제일 합리적으로 소비하는 방법을 알려주는 것이 한계효용균등의 법칙 (Equimarginal Principle, Law of Equi-Marginal Utility) 입니다.

즉, 한계효용균등의 법칙이란 자기가 가진 돈 범위내에서 자신의 효용을 극대화하기 위한 조건이라고 보시면 됩니다. 사실 '법칙'이라는 명칭 대신 효용극대화를 위한 '조건'(엄밀히는 1계 조건)이라는 명칭이 더 맞는 것 같습니다.

  참고 글: http://economia.tistory.com/2

달리 말하면, 그렇게 고정된 예산범위내에서 효용을 극대화하기 위해서는 화폐 1단위당 한계효용을 두재화 간에 같도록 소비(지출)해주어야 한다는 것입니다.

한계효용(marginal utility)를 MU로 표시하고, X재화의 MU는 MUx, Y재화의 MU는 MUy로 표시하고, X재의 가격은 Px, Y재의 가격은 Py로 나타냅니다.

한계효용 균등법칙은 수식으로 MUx/Px = MUy/Py로 나타냅니다.

MUx/Px 는 1원(화폐한단위) 당 X재가 소비로 얻을 수 있는 한계효용으로 해석할 수 있습니다.

만약 MUx/Px > MUy/Py 이라면,  Y재에 대한 추가적 한단위 소비대신 X재에 대한 한단위 소비를 증가시키면 효용이 올라갈 것입니다. X재 1원당 한계효용이 Y재 1원당 한계효용보다 크므로
당연히 소비자는 Y재 소비를 줄이고 X재의 소비를 증가시킬 것입니다. 이게 더 합리적이니까요.

MUx/Px < MUy/Py 일때는 반대가 됩니다. 화폐 한단위당 한계효용이 Y재가 더 크므로 X재 소비를 줄이고 Y재 소비를 늘립니다.

따라서 위의 두 경우는 효용을 극대화시킬 수 없는 조건이고, 오로지 MUx/Px = MUy/Py 인 경우, 즉 화폐 1단위당(1원당) 한계효용이 두 재화간에 동일하게 될 때 효용이 극대화가 됩니다. (예를 들어, X재의 MU가 20, 가격이 2, Y재의 MU가 10, 가격이 1이라면, 두재화는 1원당 한계효용이 10으로 같습니다.)

일상생활의 사례에서 이러한 내용을 활용할 수가 있는데요.

시험 공부를 할 때도 이 방법을 적용시켜야 자신의 점수를 극대화시킬 수 있습니다.
1시간 공부했을 때, 점수 증가분이 같도록 시간을 조절해야 자신의 시험성적이 극대화가 됩니다.
A라는 과목에 1시간 더 투자했을 때 20점이 올라갈 것 같고, B라는 과목에 1시간 더 투자했을 때 3점 정도 올라갈 것으로 예상한다면,
당연히 A라는 과목에 더 많은 시간을 투자해야 시험성적이 극대화됩니다.
궁극적으로는 두 과목간 1시간 투자시 한계점수 상승분이 같도록 주어진 최대 공부시간(위에서는 예산)을 배분해야 하고요.

이 경우도 A과목 또는 B과목 하나만 살펴보면, 한계점수 체감의 법칙이 존재하겠지요. 한시간씩 공부시간을 늘려나갈 때, 처음 몇시간 공부했을 때는 점수가 팍팍 뛰는 반면, 고득점으로 갈 수록 공부시간을 늘린다고 해서 점수 1점 올리기는 점점 힘들어지니까요.

예를 들어,

0시간 공부(공부 안 할 때) --> 시험점수 70점
1시간 공부 --> 시험점수 85점,   한계점수: 15
2시간 공부 --> 시험점수 91점,   한계점수: 6
3시간 공부 --> 시험점수 93점,   한계점수: 2    (15-->6-->2로 체감합니다.....)

요약해서 말하면,
어느 하나의 재화의 추가소비에 대해서는 벌어지는 현상을 의미하는 것이  한계효용체감의 법칙
두개의 재화(또는 n개의 재화로 일반화할 수 있음)를 주어진 소득(고정예산)안에서 소비할 때 효용을 극대화하기 위한 조건은 한계효용 균등법칙
으로 정리할 수 있습니다.

‘한계(Marginal)’라는 말은 ‘작은 변화’의 의미로 수학에서 나오는 미분에 해당한다. 즉 한계효용이란 재화나 서비스가 조금 증가할 때 추가적으로 얻게 되는 효용의 변화를 말하며 효용 곡선의 기울기에 해당한다. 그리고 소비자와 생산자는 입장에 따라서 효용 또는 이윤을 극대화하지만 모두 미분을 이용한 극대화 전략을 구사하며 합리적인 경제활동을 하고 있다.

열심히 운동하고 땀 흘린 후 마시는 맥주 한 잔은 그렇게 시원할 수 없다. 그중에서도 첫 모금은 누구에게도 양보하고 싶지 않을 정도로 소중하게 느껴진다. 가시지 않은 갈증을 해소하기 위해서 두세 잔을 연거푸 마시지만 처음 마신 한 잔의 시원함만 못하다. 
그런데 어지간히 마시고 나면 더 이상 마시고 싶지 않게 된다. ‘한계효용 체감의 법칙’이 작동한 것이다. 재화나 서비스로부터 얻는 효용, 즉 만족감은 처음에 높다가 점차 그 한계효용이 떨어진다. 

평균과는 다른 ‘한계’
경제학에서는 한계효용 외에도 한계비용, 한계수입, 한계편익 등과 같이 한계라는 말이 변화율의 의미로 널리 쓰인다. 한계의 개념은 평균의 개념과 구별된다. 평균효용이 효용 곡선의 두 점을 잇는 평균 기울기에 해당한다면 한계효용은 어느 지점의 접선 기울기에 해당한다. 자동차의 속도에 비유하면 평균 속도와 순간 속도에 해당한다고 볼 수 있다. 
피자를 먹을 때 보통 몇 조각을 먹을 것인가 하는 결정은 한계효용보다 평균효용에 따른다. 평균효용이란 총비용 대비 충분히 배부르고 만족한 수준, 즉 가성비에 해당한다. 굳이 한계효용이 제로가 되는 시점, 즉 총효용이 극댓값이 될 때까지 배가 터지도록 먹을 필요는 없다. 
언제까지 얼마만큼 먹을 것인지는 식당의 종류에 따라서 또는 누가 돈을 내느냐에 따라서 달라진다. 마음대로 먹을 수 있는 뷔페에 가서는 누구나 총효용이 최대가 되는 시점, 즉 한계효용이 제로가 될 때까지 먹는다. 이미 돈을 냈으니 한계효용에 상관없이 총효용을 극대화하면 된다. 
반면에 회전초밥 식당과 같이 먹은 만큼 돈을 내는 식당에서는 얘기가 달라진다. 쌓인 접시 색깔과 개수에 따라 계산이 달라지기 때문에 한 접시를 더 먹을 때마다 한계효용이 얼마나 될 것인지 생각하게 된다. 물론 회전초밥 식당에서도 다른 사람이 돈을 내는 경우라면 한계효용에 신경 쓸 필요 없이 총효용이 극대화되는 시점까지 먹으면 될 일이다. 
한계효용 체감의 법칙은 금전 문제에도 적용된다. 어쩌다 공돈이 생기면 기쁘다. 하지만 계속 공돈이 생기다 보면 여전히 좋으면서도 한편으론 점점 당연한 것으로 여기게 된다. 
지원금이 대표적이다. 처음에는 고마운 마음으로 잘 사용하지만 횟수가 늘어날수록 왜 좀 더 증액되지 않았는지 실망하게 되고 심지어는 손실 난 것을 전혀 보상해 주지 못한다며 원망까지 하게 된다.

한계효용과 이윤 극대화
한계효용의 법칙에서 출발해 현대경제학에서 가장 중요한 이론인 ‘소비자 효용 최적화 이론’이 생겨났다. 개별 소비자는 총효용을 극대화하기 위해 주어진 예산 한도에서 원하는 재화와 서비스를 얼마만큼 구입할 것인가를 판단한다. 
여기서 가장 중요한 수학적 수단은 총효용함수를 1차 미분해 구하는 각 재화나 서비스의 한계효용이다. 각 재화나 서비스의 한계효용이 모두 동일한 때 소비자의 총효용이 극대화되는데 이를 ‘한계효용 균등의 법칙’이라 한다. 이 법칙으로 소비자들의 합리적인 소비 행태를 설명할 수 있다. 
맥주를 어지간히 마셔 갈증이 해소되면 이제 배가 출출해진다. 맥주를 한 잔 더 마시기보다 요기할 만한 안주 등 먹거리를 찾게 된다. 같은 돈을 소비하더라도 이제 맥주의 한계효용보다 음식의 한계효용이 커지기 때문이다. 결국 맥주의 한계효용과 음식의 한계효용이 서로 같아지는 경계 지점에서 소비 행태가 바뀌게 된다. 
한계효용 균등의 법칙은 두 개가 아니라 여러 개의 재화나 서비스에 대해서도 적용된다. 즉 다변수 문제인 셈이다. 예를 들어 슈퍼에서 장을 볼 때 주어진 예산으로 여러 종류의 식료품 중에서 무엇을 얼마큼씩 살까 고민한다. 가장 합리적인 장보기는 각 식료품들의 양을 조절해서 한계효용이 모두 같아지도록 하는 것이다. 
그런데 소비자 입장에서는 효용을 극대화하기 위한 지출을 하지만 생산자나 기업 입장에서는 이윤을 극대화하는 방향으로 최적화가 이루어진다. 기업은 ‘이윤=총수입-총비용’의 총이윤 함수를 미분한 한계수입과 한계비용이 일치하는 지점에서 재화나 서비스의 생산량을 결정한다. 한 개 더 만들어 팔아 생기는 수입과 만들 때 들어가는 비용이 같아지는 지점이다. 
추가적으로 생산하는 데 들어가는 비용이 수입보다 크다면 굳이 생산을 늘릴 이유가 없다. 기업의 ‘이윤 극대화’ 문제이다. 결국 소비자와 생산자는 입장에 따라서 효용을 극대화하거나 또는 이윤을 극대화하는 차이는 있지만 모두 미분을 이용한 극대화 전략을 구사하며 합리적인 경제활동을 하고 있는 것이다.