[전자기학] RL 회로의 미분방정식 풀이 이 경우는 전지가 연결된 상황에서 스위치를 닫는 순간부터의 전류의 변화이다.. 즉 시간 t=0 일 경우를 다루는 것이다.. 일반적으로 미분방정식은 시험해(trial solution)을 가정하여 대입한 다음 경계조건을 적용해서 계수와 상수를 구해나가는 거지만.. 개인적으론....그냥 무식하게 푸는걸 좋아하는 편이라..(..);; 1계 선형 미분 방정식은 어느 형태이든 간에 적분인자를 이용해서 해를 구할 수 있기 때문에.. 자기가 좋아하는 방법으로 구해도 된다.. 여기서는 그냥 가장 일반적인 변수분리로 풀었다.. 항상 전기 회로에서 미분 방정식은 여러가지로 풀 수 있긴 하지만은.. 가장 먼저 키르히호프의 제 2규칙을 이용해서 방정식을 세우는 게 제일 간단할 것이다.. 이를 이용해서 방정식을 만들어 풀면 그 방정식의 시간에 대한 해가 나올 것이다.. 풀이 결과.. 이 함수는 마치 종단속도와 같은 형태의 함수계형이 나올 것이다.. 원래 인덕터가 없었다면 전류는 순식간에 step function처럼 행동했을 텐데.. 역기전력의 효과로 인해서 전류는 그렇게 빨리 증가하지 않고 서서히 증가를 하게 된다.. 15. RL 회로 전기회로에 연결되는 중요한 요소로 기전력, 전기저항, 축전기, 인덕터 등이 있다. 지난 9장에서는 전기저항과 축전기가 연결된 RC 회로를 공부하였다. 이 장에서는 전기저항과 인덕터가 연결된 RL 회로에 대해 공부한다. 회로문제를 다룰 때는 먼저 회로의 각 가지에 전류가 흐르는 방향을 가정한다. 그러면 기전력을 제외한 나머지 요소에서는 전류가 회로의 각 요소를 지나가면서 스칼라 퍼텐셜이 감소한다. 9장에서 이미 공부한 것에 인덕터를 추가하면, 그림 15.1에 보인 회로의 각 요소에 대해 (15.1) 이 성립한다. 이 중에서 인덕터의 경우는 패러데이
법칙의 결과를 반영한 것이다. 그림 15.1에 나온 전기저항과 축전기에서는 항상 b점의 스칼라 퍼텐셜이 a점의 스칼라 퍼텐셜보다 더 낮지만 인덕터의 경우에는 전류 예제 1키르히호프 법칙을 이용하여 오른쪽 그림 위에 보인 직렬로 연결된 인덕터와 아래에 보인 병렬로 연결된 인덕터의 합성 인덕턴스를 구하라. 위쪽에 표시된 회로에 키르히호프 법칙 중에서 고리법칙을 적용하자. 폐회로가 하나밖에 없으므로 적용하기도 쉽다. 인덕터를
지나갈 때마다 스칼라 퍼텐셜이 가 됨을 알 수 있다. 그런데 만일 두 인덕터가 합성 인덕턴스가 L 인 단 하나의 인덕터로 되어 있다면 이 식이 가 됨을 알 수 있다. 이번에는 문제에 주어진 그림 아래쪽에 보인 병렬회로에 키르히호프 법칙을 적용하자. 접합점은 두 개이지만 두 접합점에서 접합점 법칙을 적용하면 동일한 결과를 얻는데, 그 결과는 이다. 여기서 두 번째 식은 단순히 첫 번째 식을 시간으로 미분하여 얻었다. 이번에는 회로의 위쪽 폐회로와 전체 폐회로에 고리법칙을 적용하자 그러면 그 결과는 가 된다. 이제 고리법칙으로 얻은 결과를 위의 접합점법칙으로 얻은 결과에 대입하면 가 됨을 알 수
있다. 그런데 만일 두 병렬로 연결된 인덕터가 하나의 합성 인덕턴스 L 로 연결되어 있다면 역시 를 만족하는 것을 알 수 있다. RC 회로의 축전기 자리에 인덕터를 연결한 회로를 RL 회로라 한다. 인덕터는 코일모양으로 감은 도선을 말한다. 그러므로 직류회로에 인덕터를 연결하면 연결하지 않은 것이나 마찬가지이다. 인덕터는 단순히 도선을 구부러뜨린 것에 불과하기 때문이다. 그렇지만 그림 15.2에 보인 것과 같은 RL 회로의 스위치 S 를 닫으면 전류가 갑자기 많이 흐르는 것이 아니라 전류는 0에서부터 시작하여 서서히 증가한다. 그러면 RL 회로의 스위치 S 를 닫은 직후에 회로에 어떤 모양으로 전류가 흐르는지 알아보자. 이 전류는 시간에 따라 흐르는 양이 바뀐다는 점에 유의하자. 이제 그림
15.2에 보인 RL 회로의 스위치 S 를 닫은 뒤부터 측정한 시간 (15.2) 가 된다. 이 식은 9장의 RC 회로에 적용된 미분방정식과 똑같은 형태의 미분방정식이다. 그러므로 그 풀이도 RC 회로 문제를 풀 때와 똑같은 방법이 적용된다. (15.2)식으로 주어진 미분방정식은 1차 미분방정식인데, 1차 미분방정식은 9장에서 설명된 것처럼 항상 적분에 의해 풀 수가 있다. 적분에 의해 (15.2)식을 풀기 위해서 (15.2)식을 다음과 같이 (15.3) 라고 바꾸어 쓰자. 여기서, 한 번 더 강조하지만, 전류 (15.3)식의 좌변과 우변은 같다. 그러므로 (15.3)식의 양변을 적분하면 적분한 결과도 좌변과 우변이 같아서 (15.4) 가 성립한다. 그런데 엄밀하게 말하면 (15.4)식은 등식으로 놓을 수가 없다. (15.4)식의 좌변은
전류 (15.5) 라고 쓰면 좌변과 우변 사이의 등식이 확실히 성립한다. (15.5)식의 우변에 나오는 적분은 R/L 이 변하지 않는 상수이므로 (15.6) 이고 (15.5)식의 좌변에 나오는 적분은 (15.7) 가 된다. 그래서 (15.6)식과 (15.7)식을 (15.5)식에 대입하면 (15.8) 를 얻는다. 그리고 이제 (15.8)식을 조금 더 정리하면 (15.9) 가 바로 미분방정식 (15.2)로부터 우리가 구하는 풀이이다. (15.9)식에서 (15.10) 가 된다. 이번에는
그림 15.2에 연결한 인덕터에 만들어지는 유도기전력 (15.11) 로 주어지므로, (15.11)식의
전류 (15.12) 가 된다. (15.10)식으로 구한 전류 (15.10)식과 (15.12)식에 나오는 지수함수에는 중요한 상수 R/L 이 포함되어
있다. 이것은 마치 RC 회로에서는 중요한 상수로 RC 가 포함된 것과 흡사하다.
이제 R 의 차원과 L 의 차원으로부터 R/L 의 차원을 구해보자. R 의 차원은
9장에서 본 것처럼 전기저항을 정의한 식인 (15.13) 이 됨을 알 수 있다. 이와 같이
RL 회로에서 구한 전류 마치 9장에서 RC 회로에서 시간차원인 상수 RC 를 RC 회로의 시간상수라고 불렀듯이 L/R 로 주어지는 이 시간은 RL 회로의 중요한 특성을 나타낸다. 그래서 (15.14) 로 주어진 시간 (15.15) 고
쓰자. 그러면 이제 그림 15.2로 주어진 RL 회로의 스위치 S 닫은 뒤에
시간이 시간상수만큼 흐른 뒤인 (15.16) 가 된다. 즉
RL 회로의 시간상수 RL 회로에 대한 미분방정식인 (15.2)식은 그림
15.2에 보인 것처럼 인덕터를 충전시킬 때 적용된다. 특히 (15.10)식과
(15.12)식으로 주어진 풀이는 처음에 회로에 흐르는 전류가 0인 경우에 RL 회로를 푼 풀이에 해당한다. 그러면 이번에는 원래 전류 (15.17) 가 된다. (15.17)식은 (15.2)식보다 훨씬 더 쉽게 풀 수 있다. (15.17)식을 적분을 이용하여 풀기 위해 다음과 같이 (15.18) 라고 바꾸어 쓰고 양변을 (15.19) 와 같이 적분하자. 여기서 (15.20) 가 된다. 그리고 인덕터에 만들어지는
유도기전력 (15.21) 를 얻는다. 이처럼 이미 전류 예제 2전자석과 기전력을 연결한
RL 회로를 생각하자. 전자석의 인덕턴스는 20 H 이고 연결한 도선의 저항은 이 문제는 가 된다. 이번에는 전류가 최종 전류 값인 2.4 A 의 99% 에 이를 때까지의 시간을 구해보자. 그 시간을 를 만족한다. 그러므로 우리가 구하는 이다. 여기서는 ln(100) =4.6 임을 이용하였다. 이 결과로부터 최종 전류 값의 99% 에 도달하는데 이 RL 회로의 특성인 시간상수 |
RL 회로 미분 방정식 - RL hoelo mibun bangjeongsig
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