근 궤적 - geun gwejeog

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예제_1. 개루프전달함수가 실수근을 가질 때

<제어 시스템>

각도조건

크기조건

1. 실수축상의 근궤적 결정

 - 실수축상에 극점(x로 표시)과 영점(o로 표시)을 표시한다.

 - 실수축상의 근궤적을 구하기 위해 각도조건에 주목한다. 그리고 극점 사이에 시험점 s를 설정한다.

시험점이 양의 실수축에 있을 때 

​

각도조건을 고려하면,

​

각도 조건을 만족하지 않기 때문에 양의 실수축에는 근궤적이 존재하지 않는다. ​

​

시험점이 -1과 0사이에 있을 때 

​

각도조건을 고려하면,

각도 조건을 만족하므로, 근궤적은 -1과 0사이에 존재한다.

시험점이 -2와 -1사이에 있을 때 

​

각도조건을 고려하면,

각도 조건을 만족하지 않으므로, 근궤적은 -2와 -1사이에 존재하지 않는다.

시험점이 -(무한대)와 -2사이에 있을 때 

​

각도조건을 고려하면,

각도 조건을 만족하므로, 근궤적은 -(무한대)와 -2사이에 존재한다.

2. 근궤적의 점근선

극점의 수가 영점의 수보다 많을 때, 근궤적은 점근선을 따라 무한대의 거리에 위치한 영점으로 접근한다.

점근선을 구하기 위해 무한대의 위치에 시험점 s가 있다고 가정한다.

 각도조건

따라서 점근선의 각도는

그리고 점근선이 실수축과 만나는 교점은 다음과 같은 식으로 계산한다.

여기서 p는 개루프 극점을 구할 때 사용되는 계수값, z는 개루프 영점을 구하는데 사용되는 계수값이다. 그리고 n은 유한개루프 극점의 개수, m은 유한개루프 영점의 개수이다.

따라서 본 예제에서 실수축과 점근선이 만나는 점은

3. 이탈점(breakaway point) 및 복귀점

-1과 0 사이의 근궤적은 K의 값이 증가함에 따라 실수축을 떠나 두 개의 점근선으로 접근해야 한다. 즉, 근이 실수축을 떠나는 부분이 이탈점이다. 그런데 실수축을 떠나기 직전에 두 개의 근은 만나기 때문에 순간적으로 중근을 가지게 된다. 

특성방정식을 다음과 같이 쓸수 있다고 가정한다.

그런데 f(s)는 실수축을 떠나는 순간 다중근을 가지기 때문에 다음과 같이 쓸 수 있다.

위의 식을 미분하고 s=s1을 대입하면

따라서 특성방정식 f(s)의 미분값이 0이 되도록 하는 s값이 이탈점이 되기 때문에 다음과 같이 s점을 찾는다.  

위의 식을 f(s)식에 대입한다.

위의 식을 정리하면 최종적으로 다음과 같다.

그런데, 지금까지 정리한것과는 별개로 특성방정식 f(s)의 식을 정리하면

이것을 미분하면 위에서 정리했던 식과 비슷한 결과값이 나온다.

dK/ds=0 이라고 두면 위에서 정리했던 식과 같게 된다. 따라서 이탈점 및 복귀점은 K로 정리하여 미분한 값이 0이 되는 s값이다.

 위의 예제에서 특성방정식 f(s)는

s=-0.4226 에서 K=0.3849  //  s=-1.5774에서 K=-0.3849

s=-1.5774는 근궤적이 없는 범위이기 때문에 당연히 이 값은 이탈점 또는 복귀점이 아니다. 그리고 0보다 크다고 가정했던 이득값 K가 음수가 되기 때문에 결과값을 보아도 이 값은 적당하지 않다.

4. 근궤적과 허수축의 교점

근궤적과 허수축의 교점을 구하는 방법은 Routh안정도 판별법​과 s=jw를 대입하는 방법, 이렇게 2가지 이다.

4.1 Routh 안정도 판별법

시스템의 특성방정식은

Routh 배열은

제 1열에서 s1항을 0으로 만드는 K값은 6이다.

허수축과의 교점은 s2행으로부터 얻어지는 보조방정식을 통해 구할 수 있다.

4.2 s=jw

5. 위의 내용을 바탕으로 근궤적을 그린다.

6. 감쇠비가 0.5가 되도록 하는 폐루프 시스템의 Dominant Congufate Pole을 결정하는 방법