● 용수철에 저장된 탄성력에 의한 위치 에너지(탄성 에너지) : 위 그림에서 용수철 상수(탄성 계수) 인 용수철의 길이를 만큼 늘어나게 했을 때 손이 용수철을 잡아당기는 힘은
가 되며, 그 때까지 사람이 한 일은 힘-변위 그래프의 면적과 같다. 즉, ● 탄성력에 대한 역학적에너지 보존 - 탄성력에 의한 역학적 에너지 전환 : 탄성력에 의해 운동하는 물체의 위치 에너지와 운동 에너지는 서로 전환된다. 즉, 위치 에너지가 감소하면 같은 양만큼 운동 에너지가 증가한다. - 탄성력에 의한 역학적 에너지 보존 법칙
이 된다. 이것을 정리하면 다음과 같다.
( A : 용수철의 최대 변위(진폭), V : 진동 중심()에서의 속력) 이것이 ‘탄성력에 대한 역학적 에너지 보존 법칙’이다. ● 탄성력에 대한 위치 에너지와 물체의 운동 에너지 탄성력에 의한 위치 에너지는 변형된 길이의 제곱에 비례하므로 위로 오목한 포물선 형태가 되며, 변형된 길이에 대한 운동 에너지의 그래프는 위로 볼록한 그래프가 된다. 역학적 에너지(E=Ep+Ek)는 모든 위치에서 동일한 값을 갖는다. <용수철의 변형된 길이에 따른 탄성력에 의한 위치 에너지(Ep)와 운동 에너지(Ek)의 크기를 나타낸 그래프> 이번 포스팅은 '탄성력'에 대해 분석해보는 과정으로 탄성력에 대한 위치에너지는 수식으로 어떻게 표현되는지 알아보고, 그것이 에너지로 전환되는 과정을 생각해 보도록 합시다. 탄성력에 의한 위치 에너지는 다음과 같이 정의됩니다. <탄성력에 의한 위치에너지> 용수철 상수를 k 라 하고, △x 를 원점을 기준으로 용수철을 끌어당겼을 때의 위치의 차이, 즉 변위라고 한다면, 탄성력에 의한 위치에너지 E_p 는 다음과 같이 정의된다.  그런데, 왜탄성 에너지는 왜 저런 에너지값을 가지어야 하는 걸까요? 여러 가지로 소개할 수가 있는데, 일과 에너지 관계를 이용해서, 왜 위치에너지가 저렇게 되는지 분석해 볼 수 있습니다. 그걸 분석하기 위한 기본 틀은 바로 일과 에너지와의 관계 입니다. 이것은 지난번에 포스팅한 내용입니다. 자세한 내용은 ( http://blog.naver.com/at3650/220021836415 : 일과 에너지(4-₂) : 일과 에너지와의 관계 ) <일과 에너지와의 관계> 그리고, 지난번에 이야기 했던 훅의 법칙(Hook's Law) 도 알고 있어야 하는데 지난번 포스팅인 8-₁편에서 이미 소개했죠.( http://blog.naver.com/at3650/220048547587 : 일과 에너지(8-₁) - '탄성','복원력' 개념에 대한 소개 ) 그리고, 일단 탄성력에 따른 그래프를 그려보는데요. 일단, 우리는 직선이 될 거라는 것을 알고 있습니다. 원래 방향성을 따지자면 2,4 사분면을 향하는 직선 그래프를 그려야 하는데, 여기서는 크기만 고려해서 다음과 같이 훅의 법칙에 대응되는 변위에 따른 힘의 그래프를 그려봅시다. 먼저 쉬운 상황을 설명해 보기 위해 일단, 우리가 가장 용수철이 가장 멈춰있는, 지점을 O 라 하고, 아래 그림처럼 길이를 차근차근히 늘려봅시다. 이렇게 변위에 따라 탄성력은 kx_1 , kx_2 ... kx 이렇게 결정될 겁니다. 지난번에 이야기했듯이 변위를 늘리면 늘릴수록 그에 따른 탄성력은 비례해서 증가하며, 실제 용수철이 탄성한계를 넘어가지만 않는다면야 오른쪽과 같은 선형 그래프를 그리게 될 것은 당연한 이야기입니다. 그다음, 이제 여려분이 맞닥드려야 할 과제는 이겁니다. 일단 그래프에서 가로축에 대응되는 것은 힘이고 세로축에 대응되는 것은 힘입니다. 그래서, 실제 면적이 의미하는 것은 아마도 을 의미하는 것임을 알 수 있습니다. 에이.. 삼각형이지 않습니까? 가로축과 세로축을 곱하면 사각형일 텐데요... 라고 말하시는 분들을 위해 아래와 같이 설명을 더 첨가해드립니다. (사실, 이 아이디어는 정적분을 생각하면 쉽게 끝납니다. 그런데, 그것을 잘 모르는 분을 위해 배려를 잠깐 해둡니다.) 이 아이디어를 적용시키자면, 결국 아주 짧은 구간에서 작용하는 힘이 있을 것이고, 이것들을 위와 같이 무수히 많은 직사각형으로 쪼개고, 그 면적이 의미하는 것 바로 일이기 때문에, 우리는 실제 삼각형의 면적이 실제 내가 용수철에게 해 준일이다. 라고 해도 좋습니다. 어쨌든 해 준 일이 면적이라는 걸 받아 들인다면, 원점을 기준으로 해서, 변위의 변화가 일어날 때마다 저장되는 에너지는 이 됩니다. 삼각형의 면적 1/2 × (밑변) × (높이) 인데요. 밑변 x에 대해 (변위 단위), 높이가 kx (힘 단위) 이므로 최종적으로 내가 용수철에게 해 준 일은 저 값이 됩니다. 잠깐, 맨 처음에 이야기할 때 탄성력은 변위와 반대 방향으로 작용한다고 했는데, 힘의 방향 생각을 생각하지 않고, 일단 일의 양을 구했습니다. 그러나, 사실 방향을 애초 처음부터 따지는 건 의미가 없었을지도 모릅니다. 왜냐하면 일의 양은 스칼라값이기 때문입니다. 기본 단위 개념을 잘 챙겨놓으면, 멘붕이 덜 올 수 있고, 덜 헤맬 수 있어 좋습니다. 물론, 이 상황은 용수철을 "압착시킬 때" 에도 잘 적용됩니다. 그런데, 용수철을 압착시키는 경우에 대해서도 똑같이 변형된 길이만큼 생각해주면 되고, 또 일,에너지의 값은 결국 스칼라값이기 때문에, 역시나 변형된 길이의 제곱에 비례하게 됩니다. 여기서, 이제 일-에너지 관계를 적용시켜봅시다. W=△E 의 관점을 보면, 내가 분명 변위 x만큼 땡겨줬기 때문에, 그게 그렇게 일 해준만큼 분명히 에너지로 축척되어야 하는게 타당하는 것을 언어로 표현한게 W=△E 이죠. 그 에너지를 새로이 정의하는데 그것이 바로 용수철을 x만큼 당겼을 때 일어나는 에너지인 탄성력에 대한 위치에너지입니다. '위치에너지' 란 말이 붙은 이유는 물체를 높은데서 떨어뜨릴 때처럼 변위에 따라 에너지가 결정되기 때문입니다. 그래서, 일과 에너지, 그리고 그래프의 분석을 통해, 우리는 탄성력에 대한 에너지를 정의할 수가 있습니다. <탄성력에 의한 위치에너지> 용수철 상수를 k 라 하고, △x 를 늘어난 용수철이 늘어난 길이라고 한다면, 탄성력에 의한 위치에너지 E_p 는 다음과 같이 정의된다. 한편 탄성력에 대한 위치에너지도 원점에서 늘어난 길이에 따른 변위에 따라 결정되기 때문에, 당연히 변위가 줄어든다고만 생각하면 용수철을 당겼다가 갑자기 팍 놓았을 때 에너지는 줄어들어야만 맞는거고, 그렇게 되면 실제 상황과 말이 안되는 현상이 벌어집니다. 여기서도 당연히 에너지가 그냥 퍽 하고 사라지는게 아니라 에너지는 "보존" 되어야 하기 때문에, 분명히 다른 에너지로 전환이 되어져야 하는게 맞을겁니다. 한가지 중요한 사실은, 늘어뜰인 용수철, 혹은 압착시킨 용수철에서 외력을 없애는 순간(즉, 손을 떼는 순간) 용수철은 이리저리 요동칠거라는 사실입니다. 즉 용수철 자체의 속도가 생기고, 속도가 생긴다는 것은 곧 '운동에너지' 로의 전환을 이야기하게 됩니다. 따라서, 우리는 중요한 Fact를 얻게 되는데요. 조금 더 그 조건과 진술을 자세히 써보면, 이 사실은 운동에너지를 기술하는 방법과 위에서 방금 표현한, 전체적인 면적이 해 준 일이다. 라는 관점을 이용하면 간단하게 유도할 수 있습니다. 짧은 시간 동안 변형된 거리에 대해서 작용하는 힘은 요동치듯 변형되진 않을겁니다. 즉, 짧은 구간에 대해서는 같은 가속도를 갖는다고 볼 수 있습니다. 즉, 두 변위 차 △x=x₂-x₁에 대해서 , 지난번에 등가속도 운동에 대해 시간 항을 소거한 것에 대해서, 변위에 대응되는 속도를 각각 v₁, v₂라 한다면, 이렇게 표현할 수 있었고, 여기에 1/2 m 를 곱하면 여기서 우변의 ma△x = F△x 라 쓸 수 있으므로 그런데, 변위-힘 그래프에서 이태동안 운동한, 힘과 변위와 관련된 식, 즉 면적(F△x) 에 대응되는 부분은 (*) 에서 소개한대로 탄성 에너지의 변화량에 해당할텐데, 여기서는 해당하는 면적이 그 부분이 될 겁니다. 이제, (**) 식에 위에서 나온 정보를 대입하면, 여기서 탄성에너지의 변화량 ( x₁에서 x₂로 줄어드는 과정을 설명하기 위해서) 을 설명하기 위해, 양변에 -1 를 곱해보면 따라서, x₁→ x₂ 로 변위가 줄어들면, 탄성에너지가 줄어드는 상황이라 볼 수 있는데, 줄어든 만큼 좌변에 있는 항만큼 운동에너지로 전환된다는 것을 알 수 있습니다. 물론, 이 상황은 공기에 대한 저항이나 마찰력을 무시한 상태에서 적용될 수 있으며, 감소한 만큼의 탄성에너지가 운동에너지로 전환된다는 것을 알 수 있습니다. 또, 이 식에서 (***) 을 첨자가 같은 것끼리 해서 정리하면, 중요한 결론을 얻는데, 이 되는데, 위 박스의 식은 x₁ 지점에 있는 총 에너지 탄성에너지와 운동에너지의 에너지와 x₂지점에 있는 탄성에너지와 운동에너지의 합은 (공기 저항이나 마찰력이 없다면 보존된 다는 사실을 알 수 있습니다. 물론 용수철을 잡아당겼다가 평형점으로 되돌아가는 순간만 생각해본다면, 초기 위치 x₁= x 라 두고, 초기 속도는 v₁= 0 으로 둘 수 있습니다. 평형점으로 되돌아가는 순간은 속도 v₂= v 라고 두고, 초기 위치는 변위가 0이므로 x₂= 0 이라고 둘 수 있습니다. 따라서, 전체적인 전환 과정을 보면, 으로 쓸 수 있습니다. 즉 당긴만큼의 탄성에너지는 공기 저항 마찰을 무시한다면 전부다 운동에너지로 전환된다는 사실을 알 수 있습니다. 에너지 보존 법칙이 성립한다는 것을 알 수 있습니다. 에너지 보존 법칙에 대해 마무리를 지어보면서 이 글을 끝마치도록 하겠습니다! <탄성력에 대한 위치에너지 보존> 공기와의 저항이나 마찰력을 무시할 때, 임의의 변위에 대한 에너지의 양은 항시 보존된다. |
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