파스칼 삼각형 특징 - paseukal samgaghyeong teugjing

1303년 중국인에 의해 유럽에 알려졌으나 이 삼각형에서 흥미로운 성질을 많이 발견한 프랑스의 철학자이자 수학자인 파스칼(Pascal)의 이름을 따서 파스칼의 삼각형이라 부르게 되었습니다.

파스칼의 삼각형을 잘 이용하면 여러 가지 재미있는 문제를 해결하는데 도움이 됩니다. 예를 들면, 사과와 배 두 종류만 파는 과일가게에 갔는데 과일을 사는 방법의 경우의 수를 생각해 보면 둘을 모두 사는 경우가 1가지, 둘 중 하나를 사는 경우는 사과만 살 경우와 배만 살 경우가 있으므로 2가지, 둘 다 사지 않는 경우의 수 1가지가 있습니다. 이것은 그림에서 세번 째 줄의 숫자 1, 2, 1과 같습니다. 그러면 사과, 배, 감의 세가지 과일을 사는 경우는 어떻게 될까요? 딱 봐도 감이 오죠? 고등학교에 올라가게 되면 다항식의 계수에 관한 내용을 배우는데 (이항 정리하고 합니다.) 계수의 규칙도 파스칼의 삼각형을 이용해서 알 수 있습니다.

파스칼의 삼각형으로 여러가지 규칙을 찾아 보겠습니다.

1. 파스칼의 삼각형에서 홀수를 빨간색으로 칠해보면 어떤 모양이 만들어질까요?

시어핀스키 삼각형은 바츠와프 시어핀스크의 이름이 붙은 프랙탈 도형으로 정삼각형의 세 중점을 연결해 내부에 정삼각형을 만드는 것을 무한히 반복하여 얻어지는 도형입니다. 고등학교에서 무한급수에 대해 배울 때 자주 등장하는 내용입니다.

2. 파스칼의 삼각형에서 5의 배수를 파란색으로 칠해보면 어떤 모양이 만들어질까요?

5의 배수만 색칠하게 되면 역삼각형 모양의 패턴을 찾아낼 수 있습니다. 

3. 1부터 10까지의 합을 구해볼까요?

1부터 10까지의 합은 경사로를 따라 1부터 10까지 따라 내려간 후 바로 아랫 줄 꺾인 부문의 값이 더한 값이 됩니다. 위에 칠해진 바로 밑에 줄인 1, 3, 6, 10, ... 45까지 더한 값은? 당연히 165가 되겠죠? 이런 규칙을 하키스틱 법칙이라고도 한답니다.

파스칼의 삼각형의 1행부터 4행까지의 수를 각각 연속하여 배열하면 11의 거듭제곱이 됩니다. 즉, 각 행의 수를 붙여 적었을 때 1행은 11, 2행은 11², 3행은 11³, 4행은 11⁴이 됩니다.

삼각수

파스칼의 삼각형의 3행 1열에서 시작하는 오른쪽 아래 방향의 대각선의 수는 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 … 입니다. 이 수들은 정삼각형 모양으로 점을 배열했을 때 그 모양을 이루고 있는 점의 개수인 삼각수(triangular number)가 됩니다.

첫 번째 삼각수       두 번째 삼각수       세 번째 삼각수       네 번째 삼각수

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          1                          3                             6                             10

하키 스틱 패턴

파스칼의 삼각형에서 각 행의 첫 번째 수나 마지막 수인 1에서 시작하여 대각선 방향에 배열된 수들을 더하면 그 다음 행의 오른쪽이나 왼쪽에 있는 수가 됩니다. 이것을 파스칼의 삼각형에 표시하면 하키 스틱 모양이 되므로 ‘하키 스틱 패턴’이라고 합니다.

이항 정리

파스칼의 삼각형에서 각 행에 배열된 수들을 더하면 2의 거듭제곱이 됩니다. 더 정확히 말하면 n행의 수들의 합은 2ⁿ이 됩니다.

                                                       1                                                       1 

                                                 1          1                                                1+1 = 2¹ 

                                           1          2          1                                          1+2+1 = 4 = 2²

                                     1          3          3          1                                    1+3+3+1 = 8 = 2³

                                1          4          6          4          1                              1+4+6+4+1 = 16 = 2⁴

이 성질은 이항정리를 이용한 식 nC0 + nC₁ + nC₂ + … + nCn  = 2ⁿ을 떠올리면 쉽게 이해할 수 있습니다.(이항정리는 고등학교 수학 교과과정에 나옵니다.)

원에 다각형 내접시키기

원에 직선, 삼각형, 사각형 등을 내접시키고 각각의 경우 몇 개의 점, 선분, 삼각형, 사각형이 생기는지 조사해 봅시다. 예를 들어 원 안에 사각형을 내접시킬 때 점은 4개, 선분은 6개, 삼각형은 4개, 사각형은 1개가 생깁니다. 이런 식으로 정리한 표에는 파스칼의 삼각형이 들어 있는데, 따져 보면 당연한 귀결입니다. 사각형을 내접시킬 때 점의 개수는 4개의 점에서 하나의 점을 선택하는 경우의 수 4(= ₄C₁)이고, 선분의 개수는 4개의 점에서 2개의 점을 선택하는 경우의 수 6(= ₄C₂)이며, 삼각형의 개수는 4개의 점에서 3개의 점을 선택하는 경우의 수 4(= ₄C₃)이기 때문입니다.

프랙털 패턴

파스칼의 삼각형에서 짝수 자리와 홀수 자리에 서로 다른 색을 칠하면 부분이 전체를 닮은 프랙털 패턴이 나타납니다. 이 프랙털 모양들은 재료 과학자들이 혁신적인 성질을 가진 새로운 구조물들을 만들어 내는 데 도움이 되는 모형으로 활용될 수 있습니다. 예를 들어 1986년에 연구자들은 홀수 자리에 구멍을 내어 파스칼의 삼각형과 거의 똑같이 생긴 마이크로미터 크기의 철사 개스킷을 만들어 내기도 했습니다. 가장 작은 삼각형은 대략 1.38 제곱마이크로미터였고 과학자들은 자기장하에서 이 초전도 개스킷이 나타내는 수많은 희귀 성질들을 조사했습니다.