파이썬 데이터 적분 - paisseon deiteo jeogbun

1. 미분 

미분은 어떤 지점에서 순간변화율을 나타낸다.
다음과 같이 정의된다.
$$f'(a)=\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}
=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
위의 정의를 사용하여 미분계수를 계산하여 보자.
$$f(x)=3x^2 - 4x +1$$

from sympy import symbols, Limit
x, a, h = symbols('x, a, h')
fx=3*x**2-4*x+1 #f(x) 정의
fxa=fx.subs({x:a}) #f(a) 생성
fxh=fx.subs({x:a+h}) #f(a+h) 생성
Limit((fxh-fxa)/h, h, 0). doit() #미분의 정의에 의한 극한값(미분계수) 계산
  6*a - 4

sympy 패키지를 사용하여 미분을 실행하기 위해서는 먼저 사용될 식, 변수, 상수를 정의해야 한다.

각각의 정의는 symbls() 함수로 실행된다.

from sympy import *

x, y, z, t=symbols('x, y, z, t') #변수 정의
k, m, n=symbols('k, m, n', integer=True) #상수 정의
f, g, h=symbols('f,g,h', cls=Function) #함수 정의

미분은 diff()로 시행된다.
print(diff(cos(x), x))
 -sin(x)
print(diff(exp(x**2), x))
  2*x*exp(x**2)

diff() 함수에 의해 2차 이상의 미분 역시 시행된다.
diff(x**4, x, x, x)
24*x
diff(x**4, x, 3)
24*x

두개이상의 변수에 대한 미분을 시행할 수 있다.
$$e^{xy}$$에 대한 다음과 같은 코딩으로 미분할 수 있다.
ex=exp(x*y)
diff(ex,x,y)

  (x*y + 1)*exp(x*y)

위 식 exp(x*y)를 x에 관해 먼저 미분하고 다음으로 y에 관해 미분하는 것으로 다음과 같은 과정에 의한 것이다.

exp(xy)/dx =y exp(xy)

[y exp(xy)]/(dy) = exp(xy)+xy exp(xy)=91+xy)exp(xy) 

위의 코딩 형식은 다음과 같이 변수부분에 직접 diff를 입력하여 수행할 수 있다. 

ex.diff(x, y)

 (x*y + 1)*exp(x*y)

또한 Derivative() 클래스를 이용하여 클래스 객체를 먼저 생성한 후 .doit() 메소드로 실행할 수 있다. 

deriv=Derivative(ex, x, y)
print(deriv)

 Derivative(exp(x*y), x, y)

deriv.doit()

 (x*y + 1)*exp(x*y)

S곡선으로 알려진 sigmodal curve 식을 미분하여 보자. 

$$y=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

x, y = symbols("x, y")
si=1/(1+exp(-x))
der=Derivative(si, x)
print(der)

 Derivative(1/(1 + exp(-x)), x)
 der.doit()

 exp(-x)/(1 + exp(-x))**2

또는 

diff(si, x)

 exp(-x)/(1 + exp(-x))**2

2. 적분

>>> from sympy import *
>>> x=Symbol('x')
>>> integrate(log(x)**2, x)

x*log(x)**2 - 2*x*log(x) + 2*x

integrate(객체, 적분변수, 하한치, 상한치) 함수에 의해 적분을 계산한다. 

부정적분 계산은 위 함수에서 한한치와 상한치 인수를 전달하지 않는다. 

integrate(cos(x), x)

 sin(x)

다음은 $$e^x$$를 [0, $$\inf$$]까지의 정적분을 실행한 것이다.

sympy 패키지에서 무한대는 영문 소문자 o를 두개 연속해서 사용한다."oo" 

integrate(exp(-x), (x, 0, oo))

 1

그러면 이중 적분의 실행 역시 가능할 것이다. 

$$\int^\inf_{-\inf} \int^\inf_{-\inf} e^{-x^2 -y^2} dxdy$$

integrate(exp(-x**2-y**2), (x, -oo, oo), (y, -oo, oo))

 pi

미분의 경우와 같이 integrate 객체를 생성하여 .doit() 메소드를 사용하여 위의 부정적분과 동일한 결과를 나타낼 수 있다. 

ex=integrate(log(x)**2, x)
print(ex)

x*log(x)**2 - 2*x*log(x) + 2*x
 ex.doit()

 x*log(x)**2 - 2*x*log(x) + 2*x

3. Limits

위의 미분과 적분의 과정과 같이 극한을 실행하는데 limit() 함수를 적용하거나 Limit() 함수로 극한 객체를 설정하여 .doit()으로 평가하는 방법이 있다.
$$\lim_{x \rightarrow 0} f(x)$$

limit(sin(x)/x, x, 0)
  1
obj=Limit(sin(x)/x, x, 0)
obj.doit()
  1

완숙의 블로그

Numerical integration

Bello-

미분은 diff 함수를 사용하면 쉽게 할 수 있지만 적분은 구간이 필요하기 때문에 

수치적으로 근사할 수 있는 방법이 필요해요.

Intuition Concept

(https://ko.wikipedia.org/wiki/적분#/media/File:Integral_example.svg)

이게 정적분이죠! 하지만 컴퓨터는 연속적인 값을 인식할 수 없기 때문에 

(사실 점들의 집합이 선이긴 하죠) 이산적인 값에 대해서 이 값에 근사해야 합니다.

그 전에 이 정적분의 정의를 어떤 것에서 확장했었죠?

바로 구분구적법으로 나타냈었습니다. 

고등학교 과정에서는 직사각형의 합의 형태로 나타내었지만 우리는 무한개의 사각형의 합으로 

나타낼 수 없고 이산적 합의 형태로 나타내어야 하기 때문에, 

각 x(i+1) - x(i)에 해당하는 도형이 최대한 그 부분에서의 함수의 모양과 비슷해야 합니다. 

그 중 가장 직관적인 사다리꼴을 그 도형으로 채택해 정적분 값에 근사해 보겠습니다.

이 사다리꼴로 적분값을 근사하는 방법을 Trapezoidal rule 이라 합니다.

1차식인 Trapezoidal rule이 가장 쉬우므로 이때의 근사식을 유도해보면,

.

f1을 위의 식에 대입하면,

두 점에서 근사는 이렇게되고, n개의 사다리꼴을 모두 더하게 되면,

그런데 두 점을 굳이 직선으로 이을 필요는 없겠죠. 

해당 부분을 대변할 수 있는 다른 곡선을 채택해서 그 식에 대해 적분을 해도 괜찮을 겁니다.

 결국 이 방법들은 수치해석에서 뉴턴-코츠 법칙들의 경우들 입니다.

n차 다항식의 경우를 생각하면 이런식으로 됩니다.

두 점을 잇는다는 관점에서 이건 보간법에서 한 것과 사실 비슷해요. 

어떤 차수의 다항식을 사용하느냐에 따라,

quad, quadgk, quadl, triplequad, integral, integral2, ...

이렇게 많은 방법이 존재합니다.

이 중 한가지만 살펴보면, quad함수는 Simpson's rule을 따릅니다.

P(x)라는 2차방정식으로 f(x)의 근사값을 구하는 방법입니다.
자세한 내용은 링크를 따라서 공부해보길 바랍니다.

Function

Trapezoidal rule
적분근삿값 = trapz(x_array, y_array)

입력변수는 array여야 합니다. 

매트랩에서 함수란 결국 두 array간의 관계를 나타내는 것이기 때문입니다. 

x, y array 의 길이는 같아야 합니다.

하지만 Simpson's rule 을 사용하는 방법은,

Simpson's rule
적분근삿값 = quad(function, 시작값, 끝값)

함수를 따로 정해줄 필요 없이 입력변수로 받는다는 점에서 차이가 있습니다.

Example

0 < x < 1 의 범위내에서 x^2의 적분값을 구해라.

Trapezoidal rule 를 만족하는 함수를 만들어보자.

function [I]=trapm(a,b,n,f)
h=(b-a)/n;
xp=linspace(a,b,n);
yp=f(xp);
sumf=0
for i=2:n
    sumf=sumf+yp(i)+yp(i-1);
end
I=(h/2)*sumf;

Trapezoidal rule 의 최종 식을 그대로 옮겼다.

적분값을 구하기 위해서는 이 함수를 가져다 사용하면 된다.

f = @(x) x.^2;
tramp_int_x = Trapm(0,1,100,f)

trapm_int_x =

    0.3333

trapz 함수를 사용해보면,

f = @(x) x.^2;
xp = linspace(0,1,100);
yp = f(xp);
trapz_int_x = trapz(xp, yp)

trapz_int_x =

    0.3334

Simpson's rule 도 사용해보자.

f = @(x) x.^2;
simp_int_x = quad(f, 0, 1)

simp_int_x =

    0.3333

Simpson's rule 로도 같은 값을 얻을 수 있다.

그럼
Poopaye-