주사위 3개 확률 - jusawi 3gae hwaglyul

주사위는 확률에 대한 개념을 잘 보여줍니다. 가장 일반적으로 사용되는 주사위는 6면이있는 큐브입니다. 여기서는 3 개의 표준 주사위를 굴릴 확률을 계산하는 방법을 살펴 보겠습니다. 2 개의 주사위 를 굴려서 얻은 합계의 확률을 계산하는 것은 상대적으로 표준적인 문제입니다. 2 개의 주사위가있는 총 36 개의 다른 롤이 있으며 2에서 12까지의 합계가 가능합니다. 주사위를 더 추가하면 문제는 어떻게 변합니까?

가능한 결과 및 합계

하나의 주사위에 6 개의 주사위가 있고 2 개의 주사위에 6 개의 2 = 36 개의 주사위가있는 것처럼 주사위 3 개를 굴릴 확률 실험에는 6 3 = 216 개의 결과가 있습니다. 이 아이디어는 더 많은 주사위를 더 일반화합니다. 우리가 n 개의 주사위를 굴리는 경우 6 개의 결과가 있습니다.

가능한 주사위가 여러 개의 주사위를 굴릴 수도 있습니다. 가능한 가장 작은 합계는 모든 주사위가 가장 작거나 각각 하나씩있을 때 발생합니다. 3 개의 주사위를 굴릴 때 3의 합을줍니다. 주사위에서 가장 큰 숫자는 6이며, 이는 주사위 3 개 모두가 6 인 경우 가장 큰 합계가 발생 함을 의미합니다. 이 상황에 대한 합계는 18입니다.

n 개의 주사위가 굴러 올 때 가능한 최소 합은 n 이고 가장 큰 합은 6n 입니다.

• 세 가지 주사위가 합계 3 개가 될 수있는 한 가지 방법이 있습니다.
• 4 가지 방법 3 가지
• 5 명 중 6 명
• 10 명 중 6 명
• 7 월 15 일
• 8 월 21 일
• 9 월 25 일
• 10 월 27 일
• 11 월 27 일
• 12 ~ 25
• 21 ~ 13
• 15시 14 분
• 10 명 중 15 명
• 16 명 중 6 명
• 17 세
• 1에 대해 18

합계 형성

전술 한 바와 같이, 3 개의 주사위에 대해, 가능한 합계는 3 내지 18의 모든 수를 포함한다.

확률은 계수 전략을 사용하고 숫자를 정확히 3 개의 정수로 분할하는 방법을 찾는 것으로 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 3의 합을 얻는 유일한 방법은 3 = 1 + 1 + 1입니다. 각 다이가 다른 다이와 독립적이므로 4와 같은 합계를 세 가지 방법으로 얻을 수 있습니다.

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

더 많은 계수 인수는 다른 합계를 형성하는 방법의 수를 찾는 데 사용될 수 있습니다. 각 합계의 파티션은 다음과 같습니다.

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

세 개의 다른 숫자가 파티션을 형성 할 때, 예를 들어 7 = 1 + 2 + 4 일 때, 3! (3x2x1) 개의 다른 숫자로 치환 할 수 있습니다. 따라서 이것은 샘플 공간에서 세 가지 결과로 계산됩니다. 두 개의 서로 다른 숫자가 파티션을 형성 할 때,이 숫자를 치환하는 세 가지 다른 방법이 있습니다.

특정 확률

각 합계를 얻는 방법의 총 수를 표본 공간 의 총 결과 수 또는 216로 나눕니다.

결과는 다음과 같습니다.

• 확률 3 : 1/216 = 0.5 %
• 확률 4 : 3/216 = 1.4 %
• 확률은 5 : 6/216 = 2.8 %
• 확률은 6 : 10/216 = 4.6 %
• 확률은 7 : 15/216 = 7.0 %
• 확률은 8 : 21/216 = 9.7 %
• 확률 9 : 25/216 = 11.6 %
• 확률은 10 : 27/216 = 12.5 %
• 확률 11 : 27/216 = 12.5 %
• 확률은 12 : 25/216 = 11.6 %
• 확률 13 : 21/216 = 9.7 %
• 확률 14 : 15/216 = 7.0 %
• 확률은 15 : 10/216 = 4.6 %
• 16 : 6/216 = 2.8 %의 확률
• 확률은 17 : 3/216 = 1.4 %
• 확률의 합이 18 : 1/216 = 0.5 %

알 수 있듯이 3과 18의 극한값은 가장 적습니다. 중간에있는 합계가 가장 가능성이 큽니다. 이것은 두 개의 주사위가 굴 렸을 때 관찰 된 것과 같습니다.

많은 사람들은 6면 주사위 3 개를 굴리면 10 개 주사위를 굴릴 때와 같은 확률로 3 개를 굴릴 수 있다고 생각합니다. 그러나 이것은 사실이 아니며이 기사에서는 주사위 풀의 평균 및 표준 편차를 계산하는 방법을 보여줍니다.

주사위 역학의 용어를 배우십시오. 주사위는 일반적으로 6면 다양성이지만 d2 (Coins), d4 (3면 피라미드), d8 (Octahedra), d10 (Decahedra), d12 (Dodecahedra) 및 d20 (Icosahedra)에서도 흔히 발견됩니다. 주사위 굴림은 (주사위 수) (짧은 주사위 식별자) 형식을 따르므로 2d6은 두 개의 6면 주사위를 굴립니다. 이 기사에서 일부 공식은 n = 동일한 주사위 수 및 r = 각 주사위의면 수, 1부터 r 까지 번호가 매겨진 것으로 가정 하고 'k'가 조합 값이라고 가정합니다. [1] 각 합계의 가능성을 계산하는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

1. 

   1

   주사위 수, 측면 및 원하는 합계를 기록합니다.

2. 

   2

   그 합계에 도달 할 수있는 모든 방법을 열거하십시오. 이것은 많은 수의 주사위에는 지루할 수 있지만 상당히 간단합니다. 이것은 k의 모든 분할을 r보다 큰 부분이없는 정확히 n 개의 부분으로 찾는 것과 같습니다. n = 5, r = 6 및 k = 12에 대한 예가 예로 표시됩니다. 카운트가 완전하고 파티션이 두 번 계산되지 않도록하기 위해 파티션은 사전 식 순서로 표시되고 각 파티션의 주사위는 감소하지 않는 순서로 표시됩니다.

3. 

   삼

   이전 단계에 나열된 모든 파티션이 같지는 않습니다. 그렇기 때문에 단순히 계산하는 것이 아니라 나열되어야합니다. 더 작은 3 개 다이 예에서, 파티션 (123)은 6 개의 가능성 (123, 132, 213, 231, 312, 321)을 커버하는 반면, 파티션 (114)은 3 개 (114, 141, 411)만을 커버하고 222는 자신만을 포함한다. 다항식을 사용하여 각 파티션의 자릿수를 순회하는 방법의 수를 계산합니다. 이 정보는 이전 섹션의 표에 추가되었습니다. [2]

4. 

   4

   원하는 합계를 얻기 위해 총 방법 수를 더합니다.

5. 

   5

   총 결과 수로 나눕니다. 각 다이에는 똑같이 가능한면이 r 개 있으므로 이것은 단순히 r n 입니다.

이 방법은 확률 제공 하는 모든 에 대한 합계 모든 주사위의 숫자를. 스프레드 시트에서 쉽게 구현할 수 있습니다.

1. 

   1

   단일 주사위의 결과 확률에 유의하십시오. 스프레드 시트에 기록하십시오. 표시된 예는 6면 주사위를 사용합니다. 음수 합계의 빈 행은 0으로 처리되며 모든 행에서 동일한 수식을 사용할 수 있습니다. [삼]

2. 

   2

   주사위 2 개 열에 표시된 공식을 사용합니다. 즉, 두 개의 주사위가 합산 k를 나타낼 확률은 다음 이벤트의 합과 같습니다. k의 매우 높거나 낮은 값의 경우 일부 또는 전체 또는 이러한 항이 0 일 수 있지만 공식은 모든 k에 대해 유효합니다.

   • 첫 번째 주사위는 k-1을, 두 번째 주사위는 1을 보여줍니다.
   • 첫 번째 주사위는 k-2를 보여주고 두 번째 주사위는 2를 보여줍니다.
   • 첫 번째 주사위는 k-3을 보여주고 두 번째 주사위는 3을 보여줍니다.
   • 첫 번째 주사위는 k-4를, 두 번째 주사위는 4를 보여줍니다.
   • 첫 번째 주사위는 k-5를, 두 번째 주사위는 5를 보여줍니다.
   • 첫 번째 주사위는 k-6을, 두 번째 주사위는 6을 보여줍니다.

3. 

   삼

   마찬가지로, 3 개 이상의 주사위에 대해 동일한 공식이 여전히 적용되며, 주사위 한 개가 적을 때 주어진 합계에 대해 현재 알려진 확률을 사용합니다. 따라서 2 단계에서 입력 한 공식은 테이블에 필요한만큼의 데이터가 포함될 때까지 아래와 전체에 모두 채워질 수 있습니다.

4. 

   4

   표시된 스프레드 시트는 "확률"이 아니라 "방법의 수"를 계산했지만 그 사이를 쉽게 변환 할 수 있습니다. 확률 = 방법 수 / r ^ n 여기서 r은 각 주사위의면 수이고 n은 주사위 수입니다. 또는 스프레드 시트를 수정하여 확률을 직접 계산할 수 있습니다.

1. 

   1

   다항식 (1 / r) (x + x 2 +. .. + x r )을 씁니다 . 이것은 단일 다이에 대한 생성 기능입니다. x k 항의 계수 는 주사위가 k를 나타낼 확률입니다. [4]

2. 

   2

   이 다항식을 n 번째 거듭 제곱하여 n 개의 주사위에 표시된 합에 해당하는 생성 함수를 얻습니다. 그것은 compute (1 / r n ) (x + x 2 + ... + x r ) n 입니다. n이 약 2보다 크면 컴퓨터에서이 작업을 수행하는 것이 좋습니다.

3. 

   삼

   계산적으로 이것은 이전 방법과 동일하지만 때로는 생성 함수를 사용하여 이론적 결과를 도출하기가 더 쉽습니다. 예를 들어 두 개의 일반 6면 주사위를 던지는 것은 (1, 2, 2, 3, 3, 4) 라벨이 붙은 주사위와 (1, 3, 4, 5, 6, 8) 라벨이 붙은 주사위와 정확히 동일한 합계 분포를 갖습니다. 이것은 (x + x 2 + x 2 + x 3 + x 3 + x 4 ) (x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 8 ) = (x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) (x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ).

1. 

   1

   다수의 주사위의 경우 위의 방법으로 정확한 계산이 어려울 수 있습니다. 중심 극한 정리는 동일한 주사위 수의 합이 주사위 수가 증가함에 따라 정규 분포에 접근한다고 말합니다. [5]

2. 

   2

   주사위의 수와 유형에 따라 평균 및 표준 변동을 계산합니다. 1부터 r까지 번호가 매겨진 n 개의 주사위를 가정하면 아래 공식이 적용됩니다.

   • 평균은 (r + 1) / 2입니다.
   • 분산은 n (r ^ 2-1) / 12입니다.
   • 표준 편차는 분산의 제곱근입니다.

3. 

   삼

   위의 평균과 표준 편차를 가진 정규 분포를 주사위 합의 근사치로 사용합니다.