길이수축 시간팽창 - gil-isuchug siganpaengchang

1. 슈퍼스타의 등장

마이컬슨-몰리의 에테르 관측 실험이 실패로 끝나면서 '광속 불변의 원리'가 사실이 되자 과학계는 혼란에 빠졌어요.

어쩌면 지금까지 믿어왔던 물리 법칙들을 새롭게 다시 써야 할지도 모른다고 생각했죠.

우리가 가진 물리 법칙으론 '광속 불변의 원리'를 도저히 설명할 수 없었거든요.

이 때 그가 등장합니다.

바로 과학계의 슈퍼스타 아인슈타인입니다.

Albert Einstein, 1879년 3월 14일 ~ 1955년 4월 18일

아인슈타인은 맥스웰 방정식의 광속 불변 문제를 알고 있었지만 마이컬슨-몰리의 실험 결과는 몰랐어요.

하지만 아인슈타인은 처음부터 에테르 같은 건 없다고 생각했고 자신만의 방식으로 '광속 불변 문제'를 해결하려 했습니다.

그리고 결국 우리 세계의 물리 법칙을 그대로 유지하면서도

빛의 속도가 일정하다는 사실을 만족시키는 방법을 찾아내고 말았죠.

바로 우리가 절대적이라고 생각했던 시간과 공간을 바꾸는 것입니다.

​

2. 시간 지연

우주 공간에 사자와 로켓을 탄 판다가 있습니다.

판다의 로켓은 광속에 가까운 매우 빠른 속도로 사자를 지나갑니다.

이때 로켓 안의 판다가 바닥에서 빛을 천장으로 수직하게 방출했습니다.

빛은 천장에 부딪친 후 반사되어 다시 판다에게 돌아왔습니다.

판다가 이 시간을 측정하니 2초가 걸렸어요.

아마 로켓의 높이가 299,792,458m였나봐요.

빛은 1초에 299,792,458m를 가니까요.

그럼 빛이 천장까지 도달하는데는 1초가 걸렸겠죠?

이것을 사자의 입장에서 생각해보죠.

사자에게 천장으로 향한 빛은 출발점에서 대각선으로 이동해야 합니다.

로켓이 앞으로 이동하기 때문이에요.

판다의 입장에서 출발점과 수직한 천장은 정지해 있지만

사자에겐 빛이 천장으로 향하는 동안 이동하잖아요?

그래서 이곳에 부딪히기 위해선 빛은 대각선으로 이동해야 합니다.

그럼 우리는 한가지 당연한 사실을 알 수 있습니다.

빛이 천장에 부딪치기 위해 이동하는 거리가

판다의 입장에서 보다

사자의 입장에서 더 길다는 것을요.

​

판다에게 빛이 이동한 거리는 로켓의 높이에요.

바닥에서부터 천장까지 수직하게 뻗은 거리요.

​

하지만 사자에게 빛이 이동한 거리는 대각선 위로 뻗은 거리입니다.

로켓의 이동 거리와 로켓의 높이가 각각 밑변과 높이를 이루는

직각 삼각형의 빗변이 빛이 이동한 거리가 되는 것이죠.

뭐 이상할 것 없습니다. 당연한 결과잖아요?

그런데 문제는 역시 광속 불변의 원리 때문입니다.

지금까지 우리가 알던 관점에선

사자가 보는 빛의 이동 속도가

판다가 보는 빛의 이동 속도보다

빨라야 했습니다.

그래야 천장에 도착하는 시간이 똑같잖아요?

​

그런데 광속 불변의 원리는 사자와 판다 모두에게 빛의 속도는 c (299,792,458m/s)로 똑같다고 말해 줍니다.

그럼 더 먼거리를 이동하는 사자의 빛은

천장에 도착할 때까지

판다의 빛 보다 더 오랜 시간이 필요합니다.

이것을 임의로 2초라고 정해보죠.

​

그럼 이상하죠?

똑같은 빛이 출발해서 천장에 부딪친 동일한 사건 입니다.

그런데 판다는 이것을 1초가 걸렸다고 말합니다.

하지만 사자는 이것을 2초가 걸렸다고 말합니다.

누구 말이 맞는 걸까요?

​

과학자들은 '광속 불변의 원리'가 예견하는 이런 사실에 모두 혼란스러워 했습니다.

​

하지만 아인슈타인은 간단하게 해결해 버립니다.

이렇게요.

아인슈타인은 생각했어요.

"광속 불변이 사실이면 서로의 시간이 다른거야. 시간이 절대적이라는 것은 증명된 게 아니잖아?"

​

판다의 1초는 사자의 2초와 같습니다.

그렇다면 사실 모든 문제가 해결되죠.

사자가 로켓 안의 판다를 실시간으로 볼 수 있다면 판다의 세상은 슬로우 모션 처럼 움직일 거에요.

만약 판다가 바닥으로 떨어트린 동전이 1초 만에 떨어졌다면 사자에게 그것은 2초나 걸린 것이니까요.

​

이러한 현상을 시간 팽창 또는 시간 지연이라고 부릅니다.

'판다의 시간이 지연되서 천천히 흐른다' 또는 '판다의 시간 간격이 팽창해서 늘어났다'

이렇게 생각할 수 있기 때문이죠.

​

2. 시간은 얼마나 팽창하나요?

그럼 시간은 얼마나 또 어떻게 팽창할까요?

놀랍게도 아인슈타인의 특수 상대성 이론 시간 팽창 효과는 피타고라스 정리만으로 유도할 수 있습니다.

위에 다루었던 사자와 판더의 상황을 기호를 써서 나타내봅시다.

​

먼저 판다의 입장입니다.

판다가 바닥에서 방출한 빛은 t0시간이 걸려 천장에 도착했습니다.

빛의 속력은 c이기 때문에

이 때 빛이 이동한 거리는 ct0가 됩니다.

로켓의 높이죠.

이번엔 사자의 입장입니다.

사자에게 빛이 바닥에서 천장까지 도착하는데 t 시간이 걸렸습니다.

이것은 판다의 시간( t0)과 다릅니다.

아인슈타인은 판다와 사자의 시간이 다르다는 것을 인정하자고 했으니까요.

우리는 지금 그렇다면 두 시간이 얼마나 다른지 찾고 있는 중입니다.

판다에겐 빛이 출발 후t0의 시간이 지났고 사자는 t의 시간이 지난 것 입니다.

​

사자에게 빛은 t의 시간 동안 c의 속력으로 이동했습니다.

그래서 빛이 이동한 거리는 ct입니다.

이것이 [그림2-2] 직각 삼각형의 빗변 거리입니다.

빛이 천장으로 이동하는 동안 로켓이 앞으로 나아갑니다.

로켓의 상대 속력이 v라면 이 거리는 vt입니다.

이것이 [그림2-2] 직각 삼각형의 밑변 거리 입니다.

한가지 알아두어야 할 것은 속력 v는 빛의 속도를 넘어선 안된다는 것입니다.

'물질의 속력은 광속을 넘을 수 없다' 는 사실로 많이 알려져 있죠.

더 정확히는 '정보의 전달은 광속을 넘을 수 없다' 입니다.

만약 로켓의 상대 속력 v가 빛의 속력보다 크다고 해봅시다.

밑변의 거리는 대각선의 거리보다 길어집니다.

이런 직각 삼각형은 존재할 수 없습니다.

해석해보면 이렇습니다.

만약 상대 속력이 빛의 속력을 넘었습니다.

그럼 판다의 관점에서 빛은 분명 천장에 도착했습니다.

하지만 사자 관점에서 이건 불가능 합니다.

시간을 아무리 다르게 해도 말이죠.

그러니까 이런 물리적 현실은 존재할 수 없다는 뜻입니다.

로켓의 속력은 항상 빛의 속력보단 작아야 합니다.

물리적 세계에선 이것만 가능합니다.

​

[그림2-2]직각 삼각형의 높이는 로켓의 높이입니다.

이것은 아까 판다의 입장에서 구했던 ct0라고 할 수 있습니다.

여기서 t0는 판다에게 흐른 시간입니다.

​

그럼 피타고라스 정리를 이용해 사자가 자신이 정지한 세계에서 본 자신의 시간 t와 판다의 시간t0의 관계를 찾을 수 있습니다.

t = γ t0

​

이것이 특수 상대성 이론 시간 팽창 효과입니다.

정지한 관찰자가 매우 빠른 속도로 지나가는 로켓의 내부를 봅니다.

로켓 내부의 관찰자가 동전을 바닥으로 떨어트립니다.

로켓 내부의 관찰자에게 동전이 t0의 시간 후 바닥에 떨어졌습니다.

t0 는 로켓의 내부에서 흐르는 시간입니다.

​

로켓 바깥의 정지한 관찰자에게 로켓의 동전이 바닥으로 떨어지는 데 걸리는 시간은 t입니다.

t는 로켓 바깥에서 움직이는 로켓을 보는 정지한 관찰자의 시간 흐름입니다.

​

시간 t0 앞의 부분들을 γ(감마)로 표시했습니다.

γ를 로렌츠 인자라고 불러요.

로렌츠 인자를 잘 살펴보면 항상 1보다 크다는 것을 알 수 있습니다.

분모가 항상 1보다 작기 때문이죠.

또 빛의 속력 c는 매우 크기 때문에 움직이는 속력 v가 작다면 로렌츠 인자는 거의 1과 같습니다.

그럼 움직이는 물체의 시간과 정지한 사람의 시간은 거의 차이나지 않는다는 것을 알 수 있어요.

이것이 우리가 일상 생활에서 시간 팽창을 경험하지 못하는 이유입니다.

예를 들면 지구에서 가장 빠른 속력을 낼 수 있는 동물은 송골매에요..

송골매는 먹이를 잡으러 하강할 때 무려 시속 386km의 속력을 내죠.

이때 송골매의 시간은 정지한 사람이 봤을 때 1.00000000000006배만큼 팽창합니다.

이 정도면 우리에게 시간은 그냥 똑같다고 봐야 하죠.

좀 더 빠른 물체 랑 비교해 보죠.

2045년이 되면 독일에서 괴물 비행기가 탄생할 예정이에요.

'스페이스 라이너'라 불리는 이 비행선은 무려 초속 7km의 속력이죠.

유럽에서 호주까지 90분이면 도착한다고 하네요.

독일 항공 우주국에서 개발중인 이 극 초음속 항공기는 사실 비행선보단 미사일에 가까워요.

로켓 엔진을 이용해 비행선을 우주로 발사하고 최종 목적지까지 하강하도록 설계되었어요.

이 비행기가 최고 속력 7km/s에 있을 때 시간은 1.0000000002726배만큼 팽창합니다.

이것도 의미없죠?

​

하지만 속력이 클수록 로렌츠 인자는 매우 급격하게 커집니다.

속력이 빛에 근접해지면 무한대에 가깝게 커지죠.

우주에서 오는 고에너지 빛이 우리 대기와 충돌하면 가끔 뮤온이라는 입자가 생깁니다.

뮤온 입자의 속력은 광속의 0.998배 정도로 매우 빠릅니다.

수십 킬로미터 상공에서 생긴 뮤온은 지상의 안개상자를 통해 쉽게 검출할 수 있어요.

그런데 이것은 매우 희안한 일입니다.

뮤온은 붕괴 시간이 매우 짧거든요.

겨우 2.2마이크로초 정도이죠.

뮤온이 아무리 빠르더라도 이 시간이면 660m밖에 이동하지 못합니다.

그런데 어떻게 뮤온은 붕괴되지 않고 수십 킬로미터를 이동해 지상의 안개상자에 도착했을까요?

그것은 뮤온의 시간이 팽창했기 때문이에요.

0.998c로 이동하는 뮤온의 시간은 지상의 시간에 비해 16배 팽창합니다.

뮤온의 1초가 우리에겐 16초인거에요.

그래서 뮤온의 2.2마이크로초는 우리에겐 35마이크로초가 되기 때문에 뮤온은 지상까지 도달할 수 있는 거에요.

실제로 1976년 유럽의 CERN은 입자가속기를 통해 광속의 0.9994배로 움직이는 뮤온을 만들고 수명을 측정했습니다.

측정된 뮤온의 수명은 상대성 이론이 예측한 팽창 시간과 오차 범위 안에서 정확히 일치했어요.

정말 놀랍죠?

​

정지한 관찰자의 시간 t는

움직이는 관찰자의 시간 t0보다 항상 큽니다.

움직이는 관찰자의 상대 속력이 클수록 정지한 관찰자의 시간 t가 더 커집니다.

빛의 속력에 가까워질 때 t는 무한대에 가깝게 커집니다.

움직이는 관찰자의 1초가

정지한 관찰자의 무한대 시간이 되어버리는 것이죠.

​

그렇다면 이런 결론을 내리게 됩니다.

​

1) 움직이는 물체의 시간은 느리게 흐른다.

2) 움직이는 물체의 속력이 빠를 수록 시간은 더 많이 느리게 흐른다.

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3. 기억해야 하는 것

시간 팽창을 이해하기 위해 시간 팽창 공식을 유도해 보았습니다.

피타고라스 정리를 이용한 유도과정은 어렵지 않았어요.

한가지 더 기쁜 소식은 여러분에게 이 유도 과정과 공식은 필요하지 않다는 것입니다.

교육 과정엔 특수 상대성 이론의 정량적 계산은 다루지 않는 것으로 되어 있습니다.

여러분이 이 과정을 통해 시간 팽창을 이해했다면 그걸로 됐습니다.

앞으로 여러분은 최종 결론만을 기억하고 있으면 됩니다.

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아래의 단 2가지 사실이죠.

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1) 움직이는 물체의 시간은 느리게 흐른다

2) 움직이는 물체의 속력이 빠를 수록 시간은 더 많이 느리게 흐른다.

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물리학 1의 출제되는 모든 시간 팽창 문제는 이 2가지 결론만을 가지고 해결할 수 있도록 출제됩니다.

​

4. 길이 수축

움직이는 물체의 시간이 팽창된다면 당연히 따라오는 결과가 한가지 존재합니다.

다음 상황을 살펴보죠.

​

매우 빠른 로켓이 있습니다.

이 로켓의 시간이 2배 팽창된다고 가정 해보죠.

정지한 관찰자가 2초 지날 때 움직이는 로켓 안의 관찰자는 1초가 지나는 것이에요.

​

시간이 2배 팽창하려면

로켓은 1초 동안 대략 257,821,514m를 이동하는 속력을 가져야 해요

약 0.86c의 굉장한 속력이죠.

​

로켓 바깥의 관찰자인 사자에게

로켓은 2초 동안 (257,821,514m) X 2의 거리를 이동합니다.

자신이 정지했다고 생각하는 사자의 관점에서

A행성에서 B행성까지의 거리가 마침 딱 이 정도 거리인 것 같아요.

그런데 로켓 안의 판다의 입장도 들어보죠.

판다의 생각은 조금 다르거든요.

판다의 세계어서 정지해 있는 것은 자신입니다.

그리고 움직이는 것은 사자와 A행성, B행성입니다.

판다에겐 자신이 A행성에서부터 B행성 사이의 공간을 가로지르는 것이 아니라

A행성에서 B행성의 공간이 자신에 대해서 움직입니다.

그리고 B행성이 자신에게 다가왔을 때

2초가 아니라 1초의 시간이 흐릅니다.

사자에게 2초가 흐를 때 판다에겐 1초가 흘렀으니까요.

​

그럼 이상하죠?

상대 속력은 서로의 관점이 바뀌었을 때 방향만 바뀌고 크기는 그대로라고 했습니다.

그래서 판다에게도 A 행성과 B 행성으로 이루어진 공간이 움직이는 상대 속력은 0.86c로 똑같습니다.

방향만 왼쪽으로 바뀌었을 뿐이죠.

그런데 0.86c의 속력으로 A 행성과 B 행성의 공간이 1초 동안 이동하면 이동거리가 257,821,514m 밖에 되지 않잖아요?

1초 후 B 행성이 판다를 지나지 못하는 거죠.

다시 얘기해 볼게요.

정지한 사자의 관점에서 2초가 지났을 때 판다의 로켓은 B 행성을 지났습니다.

이때 사자의 관점에서 판다의 시간은 1초가 지났습니다.

그래서 판다도 자신이 정지해 있고 주변 공간이 움직이는 세계에서 1초가 지났을 때

B 행성이 자신을 지나야 합니다.

이 사실은 틀림없는 사실이죠.

하지만 사자가 정지한 관점에서 로켓이 움직이는 속력과

판다(로켓)가 정지한 관점에서

사자, A행성, B행성이 움직이는 속력이

크기가 똑같고 방향만 반대이기 때문에

판다가 정지한 관점에서 B 행성은 1초 후 판다를 지날 수 없습니다.

하지만 물리적 사실은 판다가 정지한 관점에서도

1초 후 B 행성이 판다를 지난다는 것입니다.

​

그렇다면 우리가 내릴 수 있는 결론은 이것입니다.

판다의 정지한 관점에서 움직이는 A 행성, B 행성 사이의 공간이 수축한 것입니다.

(257,821,514m) X 2 가 아니라 절반인 257,821,514m로 수축한 것이죠.

그럼 B 행성은 1초 만에 정지한 판다를 지날 수 있습니다.

움직이는 공간의 길이는 수축 합니다.

판다가 보고 있는 세상엔 A 행성과 B 행성 사이의 공간이 수축해 있습니다.

이것은 시간 팽창에 따라 당연하게 따라오는 결과입니다.

물론 사자는 여전히 두 행성 사이의 거리가 (257,821,514m) X 2 라고 얘기할 것입니다.

이것은 둘 다 옳습니다.

서로 공간을 자신만의 기준으로 다르게 측정하고 있는 것입니다.

이것에 대한 더 자세한 이야기는 다음 강의에 하도록 할게요.

​

정리해서 얘기해 보겠습니다.

정지된 공간 길이를 L0라 하고 움직이는 공간 길이를 L이라 해보죠.

사자가 보는 A행성 , B행성 사이 공간 길이가 L0입니다.

이 공간은 사자에 대해 움직이지 않으니까요.

L은 판다가 본 A행성, B행성 사이 공간의 길이입니다.

이 공간은 판다에 대해 움직이고 있으니까요.

L과 L0는 시간 팽창의 관계와 마찬가지로 다음의 관계가 있습니다.

(수학을 좋아하는 친구들은 관계식을 스스로 유도해 보시기를 바랍니다. 그리고 사진을 찍어 댓글로 남겨주세요.)

L0는 정지한 상태의 길이, L은 움직이는 상태의 길이라는 것을 명심하세요.

​

시간 지연과 마찬가지로 우리에겐 결론이 중요합니다.

상대적으로 움직이는 공간에 관한 위 관계식은 다음과 같은 결론을 말해줍니다.

​

1) 움직이는 공간의 길이는 짧아진다.

2) 상대 속력이 빠를 수록 더 짧아진다.

​

이것을 특수 상대성 이론의 길이 수축이라고 합니다.

​

길이 수축은 2가지 유의할 점이 있습니다.

1) 공간이 수축한다는 것은 그 안의 물체도 수축한다는 의미입니다.

예를 들면 정지한 사자의 관점에서 움직이는 것은 로켓입니다.

그럼 사자에겐 로켓을 포함한 공간이 짧아집니다.

이것은 로켓의 길이가 짧아진다는 것을 의미합니다.

그래서 사자에게 0.86c로 움직이는 로켓은

로켓이 정지해 있을 때 보다 길이가 2배 짧아진 상태인 것입니다. ( <그림 4> 참고 )

​

2) 길이 수축은 공간 또는 물체가 움직이는 방향으로만 일어납니다.

로켓이 <그림 4>와 같이 오른쪽으로 움직이고 있다면 로켓 바깥의 정지한 관찰자 사자에게 로켓은 움직이는 방향의 축으로만 길이가 짧아집니다.

이것과 수직한 방향, 즉 로켓의 높이는 짧아지지 않습니다.

로켓 안의 판다의 입장에서 생각해 보면 공간은 x축 방향으로만 이동합니다.

그래서 공간의 길이는 x축 방향에 대해서만 짧아집니다.

y축 방향의 거리인 사자와 행성들 사이의 수직 거리는 짧아지지 않습니다.

​

5. 특수 상대성 이론의 대환장 파티

지금까지 특수 상대성 이론의 가장 핵심 개념인 시간 팽창과 길이 수축에 대해 배웠습니다.

어쩌면 생각보다 쉽게 특수 상대성 이론이 이해가 되었을 수도 있어요.

다들 어렵다고 하던데 이상하죠?

제가 설명을 잘해서 그랬을까요?

하지만 지금부터 제가 하는 얘기를 잘 들으신다면 우리가 엄청난 착각을 했단걸 깨달을 거에요.

​

(특수 상대성 이론 3강, 공간의 상대성과 상대 속도) 강의에서 자연 세계에 절대적인 정지는 없다고 했습니다.

정지와 움직임은 상대적인 것이여서

자신만의 기준으로 자신이 정지해 있다고 판단하는 것은 모두 옳았어요.

A가 자신은 정지해 있고 B가 움직인다고 생각하면

B는 자신이 정지해 있고 A가 움직인다고 생각하죠.

이것은 둘 다 완전히 옳습니다.

둘 중 특별히 옳다고 정할 수 있는 기준계는 없습니다.

​

이것은 사실이기 때문에 우리는 특수 상대성 이론과 관련된 다음과 같은 문제들에 직면하게 됩니다.

​

1) 쌍둥이 역설

지구에 한 쌍둥이 형제가 살았습니다.

형은 우주비행사가 되었고 동생은 농부가 되었습니다.

형은 미래에 개발될 아주 빠른 우주선을 타고 우주 여행을 떠났다가 돌아왔습니다.

(*로켓의 감속과 가속은 고려하지 않고 등속 운동만을 했다고 가정합니다.)

​

그럼 지구의 동생 입장에서 매우 빠른 로켓을 탄 형의 시간은 지연됩니다.

형의 로켓이 0.86c의 속력이여서 2배 가량 팽창한다고 해봅시다.

동생의 기준에서 형이 돌아왔을 때 자신의 시간은 20년이 지났다면 형의 시간은 10년 밖에 지나지 않았습니다.

지금까지 배운 특수 상대성 이론을 받아드린다면 별로 이상하진 않은 상황입니다.

움직이는 형의 시간이 팽창한 것이니까요.

​

그런데 문제는 정지와 움직임이 상대적이라는 것입니다.

형의 입장에서 움직인건 자신이 아니라 지구의 동생입니다.

지구는 동생을 태우고 자신에게서 매우 빠르게 멀어졌다고 돌아왔습니다.

0.86c의 속력으로요.

이것은 동생이 경험하는 상황과 완전히 대칭적인 상황입니다.

그래서 자신의 시간이 20년 지날 때 동생의 시간은 10년이 지나야 합니다.

각자의 입장이 어쨋든

둘은 지구에서 헤어졌다가 다시 지구에서 만납니다.

이것은 사실입니다.

동생의 입장에선 자신의 시간이 20년 지나고 형의 시간이 10년 지났습니다.

형의 입장에선 자신의 시간이 20년 지나고 동생의 시간이 10년 지났습니다.

그럼 둘이 마주했을 때 도대체 누구의 시간이 더 오래 지난 걸까요?

같은 나이였던 쌍둥이 중 세월이 더 많이 흘러 얼굴에 주름살이 많이 생긴것은 대체 누구일까요?

특수 상대성 이론의 이 역설을 쌍둥이 역설이라고 합니다.

​

2) 차고의 역설

당신에겐 아주 긴 리무진이 있다고 해봅시다.

놀랍게도 이 리무진은 빛과 근접한 속도로 달릴 수 있습니다.

그런데 문제는 리무진의 길이가 차고보다 약간 길다는 거에요.

그래서 당신은 리무진을 차고에 넣을 수가 없죠.

​

당신은 이 문제를 이과형에게 들려줬습니다.

이과형은 자신에게 방법이 있다고 하네요.

당신이 전속력으로 차고로 돌진하면 차고에 리무진이 들어온 순간 문을 닫겠다고 합니다.

이과형 의견은 타당한 점이 있습니다.

왜냐하면 움직이는 리무진은 특수 상대성 이론에 따라 길이가 짧아지기 때문이죠.

빛과 근접한 속도라면 길이가 매우 짧아지겠죠?

그래서 차고에 들어갈 수 있는 거죠.

​

그런데 이과형의 말에 설득되어

리무진을 타고 전속력으로 차고로 돌진하던 당신은 무언가 이상함을 느낍니다.

오히려 차고의 길이가 원래보다 훨씬 짧아져 버린거에요.

왜냐하면 당신에겐 차고의 공간이 움직이기 때문에

차고의 길이 수축이 일어납니다.

그럼 대체 누구 말이 맞는 걸까요?

리무진은 차고에 들어갈 수 있는건가요? 없는건가요?

​

어때요?

이제 특수 상대성 이론이 다시 혼란스럽게 느껴지나요?

당신이 특수 상대성 이론을 정확히 이해하기 원한다면 아마 이 문제가 계속 꼬리를 물며 여러분을 괴롭힐 것입니다.

대학을 가도 쉽사리 해결되지 않죠.

저도 그랬거든요.

하지만 걱정 마세요.

제가 앞으로 여러분의 꽉 막힌 답답함을 시원하게 해결해 드릴테니까요!

​

일단은 오늘 배운 내용들을 확실히 숙지하는 것으로 하죠!

연습문제도 꼭 풀어보고요.

​

6. 연습문제

문제1) 시간 팽창과 길이수축

난이도 ★★☆☆☆

연습문제

1) <그림 5-1>과 같이 지구에 대해 움직이는 동일한 기종의 로켓 A, B, C가 있다. 로켓의 지구에 대한 상대 속력은 모두 다르다. 로켓들이 <그림 6-1>의 점선을 통과할 때 로켓의 천장에서 모두 동시에 동전을 떨어뜨렸다.

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 로켓의 길이 수축 효과는 그림에 표현하지 않았다.)

<보기>

ㄱ. 지구의 관찰자에게 동전이 바닥에 떨어지는 순서는 B -> C -> A의 순서이다.

ㄴ. A로켓 안의 관찰자에게 동전이 떨어지는 순서는 A -> C -> B 의 순서이다.

ㄷ. C 관찰자에게 A, B, C로켓의 길이 중 A 로켓의 길이가 가장 짧다.

​

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

지구에서 길이 L 인 막대기가 있다. 이 막대기를 이어서 지구에서 달까지 도달하려면 1억 개가 필요하다. 이 막대기를 로켓에 싣고 우주 여행을 떠났습니다.

로켓은 광속에 가까운 매우 빠른 속도로 그림과 같이 지나는 중 입니다.

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 달은 지구에 대해 정지해 있다. 길이 수축 효과는 그림에 표현하지 않았다.)

​

ㄱ. 로켓 안의 관찰자에게 막대기의 길이는 L과 동일하다.

ㄴ. 로켓 안의 관찰자에게 지구와 달 사이 공간엔 막대기가 1억 개 보다 적게 들어간다.

ㄷ. 로켓 안의 관찰자에게 지구와 달은 완전한 구에 가까운 모습이다.

​

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

​

​

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정답)

1) 3

2) 1

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해설)

1)

ㄱ: A, B, C 로켓이 지구에 대해 모두 정지해 있다면 동전이 바닥으로 떨어지는 시간은 모두 같을 것입니다. 하지만 특수 상대성 이론은 움직이는 물체의 시간은 천천히 흐른다고 했습니다. 빨리 움직일 수록 천천히 흐릅니다. 지구에 대한 로켓의 상대 속력은 A -> C -> B 순서 입니다. 그래서 지구의 관찰자에겐 A의 시간이 가장 천천히 흐르고 B가 가장 덜 천천히 흐릅니다. 물론 그래도 지구의 관찰자 보단 천천히 흐르지만요. 그래서 동전은 시간이 가장 천천히 흐르는 A가 가장 마지막에 바닥에 떨어집니다. 그리고 시간이 가장 덜 천천히 흐르는 B가 가장 빨리 떨어집니다. B -> C -> A 순서, ㄱ 보기 맞았습니다.

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ㄴ: 움직임은 상대적이라고 했습니다. 그래서 시간 팽창도 기준에 따라 달라집니다. A 로켓 안의 관찰자는 자신이 정지해 있고 지구를 비롯해 B, C의 로켓이 움직이다 생각합니다. A에 대한 상대 속력은 B가 -0.8c, C가 -0.2c 입니다. B가 빠르고 C가 느립니다. 그래서 A에겐 B의 시간이 가장 천천히 흐르고 그다음 C의 시간이 천천히 흐릅니다. 그리고 정지해 있는 본인의 시간이 그대로 흐릅니다. 그래서 동전이 바닥에 떨어지는 순서는 A -> C -> B 순서가 되어야 합니다. ㄴ 보기 맞았습니다.

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ㄷ: 특수 상대성 이론에 따라 움직이는 물체는 움직이는 방향으로 길이가 짧아지고 빨리 움직일 수록 더 많이 짧아 집니다. 같은 기종인 A, B, C 로켓은 상대적으로 정지해 있을 때 모두 길이가 같았기 때문에 움직일 때는 상대 속력이 빠를 수록 짧은 길이를 가지게 됩니다. C 관찰자에겐 A의 상대 속력이 0.2c, B의 상대 속력이 -0.6c, C의 상대 속력이 0 입니다. 그래서 상대 속력이 가장 큰 B 로켓의 길이가 가장 짧습니다. ㄷ보기 틀렸습니다.

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2)

ㄱ: 막대기가 상대적으로 정지 상태였던 지구에서 측정한 길이가 L이었습니다. 로켓 안 관찰자에게 막대기는 현재 정지한 상태이기 때문에 길이는 L과 동일합니다. ㄱ보기 맞습니다.

ㄴ: 로켓 관찰자에게 지구와 달 사이 공간은 움직이고 있습니다. 하지만 길이 수축은 움직이는 방향으로만 일어난다고 했습니다. 지구와 달 사이 거리는 움직이는 방향의 수직한 방향이기 때문에 길이 수축이 일어나지 않습니다. 그래서 막대기는 여전히 1억개가 들어갑니다. ㄴ보기 틀렸습니다.

ㄷ: 로켓 관찰자에게 지구와 달은 광속에 가까운 속력으로 움직입니다. 그럼 지구와 달이 움직이는 방향의 축으로 많은 길이 수축이 일어날 것입니다. 그래서 지구와 달은 많이 찌그러진 구의 형태가 되어야 합니다. ㄷ보기 틀렸습니다.

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