부채꼴 호의 길이와 넓이를 중학교 1학년 때 구해봤어요. (부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이) 이때는 각이 육십분법으로 표시되어 있었죠. 이제는 육십분법이 아니라 호도법으로 표시된 각을 이용해서 부채꼴 호의 길이와 넓이를 구해봐요. 공식을 유도하는 과정은 육십분법에서 했던 과정과 똑같아요. 각을 표시하는 방법만 달라지는 거니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 앞으로는 육십분법이 아니라 호도법으로 각을 나타낼 거니까 여기에 나오는 공식을 외워두세요. 부채꼴 호의 길이와 넓이반지름의 길이가 r인 원에서 중심각의 크기가 θ라디안인 부채꼴 호의 길이를 l이라고 하고 넓이를 S라고 해보죠.
부채꼴 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로 원의 둘레와 비례식을 세워보죠. 2π
: 2πr = θ : l 원의 넓이와 부채꼴의 넓이도 비례식을 세워볼까요? 2π : πr2 = θ : S 위의 부채꼴 호의 길이에서 l = rθ이므로 이걸 넓이 공식에 대입해보면 이 돼요. rl이라는 공식은 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이 공식도 나왔던 공식이에요. 반지름이 r이고 중심각의 크기가 x°인 부채꼴 호의 길이와 넓이는 다음과 같아요. 이글에서는 육십분법을 호도법으로 바꾼 거니까 다른 건 그냥 다 두고 각도를 나타내는 부분만 바꿔보죠. 360°는 2π(라디안), 중심각 x°는 θ(라디안)로 바꿔봐요. 공식을 유도할 수 있겠죠? 부채꼴 호의 길이 반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 π인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하여라. 반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 &pi니까 둘레 l = rθ = 4 × π = 4π(cm) S = r2θ = × 42 × π = 8π(cm2) 함께 보면 좋은 글호도법, 라디안(radian) 부채꼴 호의 길이와 넓이 중 1 부채꼴 넓이 공식 - 바로 보고 바로 이해하기부채꼴 넓이 공식 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 비례하므로 360˚에 대한 중심각의 비율만큼 원의 넓이에 대한 비율로 구할 수 있습니다.
이 방법이 부채꼴의 넓이를 구하는 가장 기본이 되는 방법입니다. 이번 포스트에서 다룰 내용은 위의 기본 방법 말고, 부채꼴의 중심각이 주어지지 않고 반지름과 호의 길이만 주어졌을 때, 넓이를 구하는 공식을 알아보려고 합니다. 수식을 통해 유도하는 방법은 뒷부분에서 설명하기로 하고 우선 직관적으로 알아낼 수 있는 방법을 설명하고자 합니다.
혹시, 이 공식을 보고 삼각형의 넓이를 떠올리지는 않았나요? 부채꼴의 넓이 공식이 어떻게 삼각형의 넓이 공식과 같게 되는지 보여드리겠습니다. 알아보기 쉽게 중심각이 90˚인 부채꼴로 설명을 하겠습니다. 위의 그림과 같이 부채꼴의 호의 모양대로 부채꼴을 얇게 잘라낸다고 합시다. 종이처럼 얇게 무한히 잘라냅니다. 그림에서는 알아보기 쉽게 두꺼운 선으로 표현했습니다. 그리고, 얇게 잘라낸 선 하나하나를 수평으로 펴줍니다. 아래 그림과 같이... 모든 선들을 위와 같이 수평으로 펼쳐줍니다. 선들이 무한히 얇게 잘라졌다면 더 촘촘한 모양이 되었겠죠? 이래서 부채꼴의 넓이 공식은 삼각형의 넓이 공식과 같은 모양인(?)  이런 식이 됩니다. 좀 더 쉽게 이해 할 수 있는 사진을 보여드리겠습니다. 앞에서 종이처럼 얇게 자른다고 했죠?^^ 동영상으로 보면 바로 보실 수 있습니다. [수식을 이용한 공식 유도 방법] 부채꼴의 호의 길이는
중심각의 크기를 이용한 부채꼴의 넓이를 구하는 공식으로부터 유도하는 과정입니다. 또는, 부채꼴의 넓이와 호의 길이는 중심각의 크기와 비례하므로
에서
이렇게 유도할 수 있습니다. 식을 통해 공식을 유도하는 방법도 꼭 연습해보세요.^^ |
부채꼴 중심각 구하기 - buchaekkol jungsimgag guhagi
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