여러 가지 사건이나 현상을 기준에 따라 분류하고 분석하여 유연적인 것들을 수치로 나타낸다.
1. 순열과 조합을 배우는 목적은 무엇인가?
각 개인은 경제활동을 하다 보면 욕심이 끝없이 없어 원하는 상품을 모두 선택하고 싶어합니다. 그렇지만 원한다고 해서 모든 물건을 다 선택할 수는 없는 일입니다.
그렇다면 사람들은 어떻게 상품을 선택해야 나름대로 개인적인 효용을 극대화할 수 있을까요? 아무래도 자기 스스로에게 효용이 더 큰 물건을 선택하는 것이 옳을 것입니다.
그런데 문제는 효용이 더 큰 물건을 선택하기 위해서는 선택 가능한 물건들에 대한 정보가 있어야 할 것입니다. 상품에 대한 정보를 알고 상품을 선택할 때, 일정한 기준에 의해 각각의 효용이 순서대로 정해져 있다면 효용이 많은 것을 우선적으로 선택하게 될 것이고, 경우에 따라서 효용이 같은 상품이 있다면 그 상품들은 균등하게 동시에 선택될 것입니다.
이 말에는 경우의 수와 순열 그리고 조합이라는 도구를 사용할 때의 그 유용성이 구체적으로 나타나 있습니다. 즉, 모든 상품의 정보를 알고 상품을 선택할 때, 선택의 순서를 고려하여 경우의 수를 구하는 순열과 선택의 순서를 고려하지 않고 경우의 수를 구하는 조합이 구체적으로 나타나 있는 것입니다.
다시 말해 정보를 어떻게 조합하여 가짓수를 정할 것인지에 대한 문제인 경우의 수, 상품들에 대하여 그 효용을 서수적으로 나열할 때 순열의 문제에서 등장하는 한계효용균등의 법칙 등은 순열과 조합을 공부하는 구체적인 목적입니다. 이처럼 일상생활에서 일어나는 여러 가지 사건이나 현상을 어떤 기준에 따라 분류하고 분석함으로써 앞으로의 상황을 예측할 수 있습니다.
이와 같이 사건을 분류하는 경우 일어날 수 있는 모든 가짓수를 빠짐없이 그리고 중복되지 않게 헤아리는 것은 매우 중요합니다. 어떤 사건이 일어나는 모든 경우의 수를 알아볼 때 같은 경우를 중복하여 세지 않고, 또 어느 한 경우도 빠뜨리지 않고 세려면 체계적인 방법으로 조사해야합니다.
경우의 수는 수형도, 표, 순열과 조합, 파스칼의 삼각형, 함수 등을 이용하여 계산합니다.
예를 들어, 우리가 장기나 바둑을 둘 때에 상대방이 돌을 놓는 위치에 따라 자신이 놓는 위치도 달라집니다. 또 여행 계획을 세울 때도 여행지를 방문하는 순서를 고려하여 최선의 방법을 선택하게 됩니다.
이와같이 일상생활에서 순서를 고려하여 여러 가지 가능한 상황을 예상할 때, 순열을 이용하게 됩니다.
또한 축구 시합에서 조 편성을 할 때, A팀과 B팀이 한 조에 속하는 것과 B팀과 A팀이 속하는 것은 같은 경우가 됩니다. 조 편성과 같이 순서를 고려하지 않은 상황에서 일어날 수 있는 경우의 수를 알아보기 위해 조합이 이용됩니다.
개인이나 집단은 일상생활에서 많은 선택을 하게 됩니다. 이때, 선택할 수 있는 가능한 경우를 잘 분석하면 보다 나은 선택을 할 수 있게 됩니다. 경우를 분석할 때에는 올바른 규칙에 따라야 어떤 경우도 빠뜨리지 않게 되며 논리적인 오류도 막을 수 있습니다.
2. 순열과 조합의 이론적 근거인 경우의 수
우리가 일상생활에서 물건의 개수나 경우의 수를 세는 것은 기초적인 문제입니다. 사람들은 본능적으로 물건의 개수를 세는 것에 흥미를 갖고 있습니다. 이런 문제를 다루기 위해서는 유용한 도구가 필요한데 떨어져 있는 개체들을 헤아릴 때에는 자연수가 그 역할을 충분히 해낼 수 있습니다.
그런데 보다 복잡한 것들은 어떻게 헤아릴 수 있을까요? 순열이나 조합은 이런 요구를 들어 줄 수 있는 아주 편리한 방법으로 이것을 적용하는 것이란 그리 쉬운 문제는 아닙니다.
다만 우리는 물건을 헤아리는 데 있어 유한집합의 원소를 순서를 고려하여 헤아릴 때에는 순열을 이용하고, 순서를 고려하지 않을 때에는 조합을 이용합니다.
순열과 조합을 설명하기 위해서 A, B, C, D, E 와 같은 5개의 서로 다른 문자가 있을 때, 이 가운데 2개를 선택하는 서로 다른 방법을 생각해봅시다.
두 문자의 선택과 선택하는 순서를 고려하면 AB,BA,AC,CA,AD,DA,AE,EA,BC,CB,BD,DB,BE,EB,CD,DC,CE,EC,DE,ED의 20가지가 나올 수 있습니다. 이와 같이 서로 다르게 선택하는 것을 '순열'이라 합니다. 특히, 5개에서 2개를 동시에 택한 순열이라 하고, 이런 순열의 수를 기호 5P2로 나타냅니다.
일반적으로 n개에서 k개를 동시에 택하는 순열의 수는 nPk로 쓰고, 그 값은 nPk = n! / (n-k)! 이며, 이때,(n-k)!과 n!은 1부터 각각 (n-k)와 n까지의 연속된 자연수를 모두 곱하는 것을 의미합니다.
이제 문자의 선택만 중요하고 순서는 고려하지 않는 경우를 생각해 봅시다. 이 경우 AB와 BA는 실제로 하나의 선택으로 취급합니다. 따라서, 순서를 무시하고 5개의 서로 다른 문자에서 2개를 선택하는 방법은 (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)의 10가지 입니다. 이와 같은 것을 5개에서 순서를 생각하지 않고 2개를 동시에 택한 '조합'이라고 하며 기호 5C2로 나타냅니다.
일반적으로 n개에서k개를 동시에 택하는 조합의 수는 nCk로 쓰고 nCk = n! / k!(n-k)! 로 계산합니다. 위의 두 공식 nPk와 nCk는 주어진 상황에서 순열과 조합이 갖는 경우를 모두 나열하지 않고 그 가짓수만 계산하기 때문에 셈공식이라 합니다.
경우의 수를 따지는 것이 일상생활에서 매우 중요하다는 것은 옛날부터 잘 알려진 사실입니다. 이른바 수학으로서의 순열과 조합을 처음으로 발견한 사람은 12세기의 인도의 수학자 A.바스카라입니다.
그 후 순열과 조합이 이론적으로 연구되기 시작한 것은 17세기에 들어와서 입니다. 파스칼, 라이프니츠, 베르누이 등에 의하여 연구가 이루어졌으며 18세기가 되어서야 비로소 그 체계가 수립되었습니다.
순열에 대한 오래된 기록은 중국과 인도 등에서 발견할 수 있습니다. 중국에서는 역(易)의 괘(卦)를 나타내는 가로로 그은 획, 즉 두 개의 효 ('─'을 양, '- -'을 음)를 배열하여 8괘와 64괘를 만들었고, 6세기경 인도의 브라마굽타는 n개의 원소를 갖는 집합의 원소를 재배열하는 순열의 수가 n(n-1)(n-2)···2ㆍ1로 주어진다는 사실을 알게됬습니다.
그 후 바스카라는 n개의 원소를 갖는 집합에서 k개의 원소를 갖느 부분집합을 만들때,
그 경우의 수가 n(n-1)(n-2)···(n-k+1) / k(k-1)···2ㆍ1 이라는 사실을 알고 있었던 것으로 여겨집니다.
또 바스카라는 순열의 개념을 여러 분야에서 발견하려고 노력하였는데 예술에서 다양한 표현 방법을 찾고, 건축에서 틈새의 변화의 수를 계산하고, 음악과 의학에서까지 순열의 개념을 발견하였습니다.
3.순열과 조합은 어떻게 활용되고 있을까?
스포츠의 경우에서 팀의 절대적인 실력과는 관계없이 대진 운과 다른 팀의 승패에 따라 그 팀의 결승 진출 여부가 좌우되기도 합니다.
전세계의 기대와 관심을 갖는 월드컵축구대회와 같은 경기에서는 본선에 진출할 수 있는 경우의 수가 최대 관심사가 됩니다. 이처럼 우리 주변에서는 일어날 수 있는 경우의 수를 따지는 일들은 흔히 볼 수 있습니다.
실생활에서 우리는 어떤 대상들 중에서 일부의 대상을 선택해야 할 때를 접하게 되기도 하고 또한 그들을 순서대로 배열을 하기도 합니다.
일상생활 가운데 접하게 되는 선택의 예를 들어봅시다.
물감을 섞어 새로운 색의 물감을 만들기 위해서는 필요한 색의 물감을 선택하여 적당한 양을 섞어야 합니다. 또한 서울 시내의 한 지점에서 다른 지점으로 이동을 하기 위하여 교통 수단을 선택하거나 지하철을 갈아탈 때, 우리는 어떤 선택을 합니다. 심지어 가위바위보와 같은 놀이를 할 때, 음식점에서 음식을 주문할 때, 주말 오후에 볼 영화를 고를 때에도 선택을 합니다. 이와 같이 일상생활을 영위하면서 우리는 무수히 많은 선택을 하고 있습니다.
배열을 하는 예도 살펴봅시다. 학교에서 비상연락망을 짜는 일, 강의 시간표를 설계하는 일, 교실에서 책상과 의자를 정돈하는 일, 학생들의 번호를 정하는 일들은 모두 배열에 해당합니다. 영화관이나 화장실에 들어가기 위해 줄을 서는 것도 일종의 배열로 볼 수 있고, 가게 진열장에 상품을 진열하는 것도 배열입니다. 이와 같이 선택과 함께 무엇인가를 배열하는 일은 일상생활에서 빈번히 발생합니다.
일반적으로 어떤 일을 선택하거나 배열하는 문제를 해결하는 방법에는 다음 두 가지가 있습니다.
첫 번째는 가능한 경우를 모두 검색하는 방법이고, 두 번째는 문제의 일부분만 검색하는 방법입니다. 문제를 해결하기 위한 가장 간단한 방법은 가능한 모든 방법을 전부 검색해 보는 것입니다. 그러나 이 경우 시간도 많이 걸리고 효율성이 떨어집니다.
퇴각 검색법은 문제의 일부분만 검색하는 한 가지 방법으로 문제 해결 과정에서 잘못된 상황에 처했을 때, 올바른 길까지 다시 돌아가서 다른 길을 찾는 방법입니다. 이때, 어디까지 퇴각하는가를 결정하는 것이 중요합니다.
미로 찾기는 퇴각 검색을 이용하는 대표적인 문제입니다. 마이크로 로봇 대회에서는 복잡한 미로를 빨리 통과하는 로봇을 우수한 것으로 결정한다고 합니다. 미로를 통과하여 나가기 위해서는 줘진 갈림길에서 어떤 선택을 하는 것이 유리할지 앞으로의 가능성을 판단해야 할 것입니다.
지금은 대부분의 사람들이 휴대전화를 가지고 있어서 멀리 있는 사람에게 음성으로 전하고 싶은 내용을 편리하게 전달할 수 있습니다. 또한 인터넷의 발달로 전자 우편을 이용하여 편지를 주고받기도 합니다. 그러나 음성이나 문자로 메시지를 전달할 수 없는 상황에 처해 있다면 어떻게 해야 할까요?
지금은 영화에서나 볼 수 있는 방법이지만 두 가지 신호만을 이용하여 어떤 메시지든지 만들어낼 수 있는 모스부호를 사용하는 것도 좋은 방법입니다.
모스 부호는 짧은 발신전류와 비교적 긴 발신전류를 적절히 조합하여 알파벳과 숫자를 표기한 것으로 기본적인 형태는 세계적으로 공통됩니다.
이러한 조합을 활용한 모스부호는 전신연락용으로 사용하게 되었습니다.
이와 같이 순열과 조합은 우리의 실생활속에 있는 예술, 건축, 음악, 스포츠, 의학에 이르기까지 다양한 분야에서 연구되고 있습니다.
일상생활에서 일어나는 여러 가지 사건이나 현상을 어떤 기준에 따라 일어날 수 있는 모든 가짓수를 순열과 조합을 이용하여 빠짐없이, 중복되지 않게 분류하고 분석함으로써 앞으로의 상황을 예측할 수 있습니다.