상수 [math]\displaystyle{ e }[/math]는 자연로그의 밑이다. 수학에서 원주율과 함께 자주 쓰이는
상수 중 하나이다. 한국에서는 흔히 자연상수라고 부르지만 정식 용어는 아니다. 우리말샘이나 대한수학회에서는 '자연로그의 밑'(base of the natural logarithm)이라고 하고있다. 영어로는 Euler's number[1]나 Napier's constant라 부른다. Euler는 당연히
레온하르트 오일러를 말하고, 네이피어(Napier)는 로그를 발명한 존 네이피어의 이름이다. 사실 수학에서 e라고 하면 이거 외에는 다른 의미를 (거의) 가지지 않으므로 그냥 e하면 다 알아듣는다. 2와 e의 발음이 같은 한국에선 예외. 값은 약 2.71828이며,
고등학교에서 미적분을 배울 때 같이 배울 것이다. 고교과정에서는
하나의 정의만 배우지만, 사실 정의는 하기 나름이라 굉장히 많은 정의가 존재한다. 아래는 그 일부. 자연상수의 값을 소수점 아래 1000자리 까지 나열하면 다음과 같다. 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517027618386062613313845830007520449338265602976067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499699679468644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331825288693984964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970198376793206832823764648042953118023287825098194558153017567173613320698112509961818815930416903515988885193458072738667385894228792284998920868058257492796104841984443634632449684875602336248270419786232090021609902353043699418491463140934317381436405462531520961836908887070167683964243781405927145635490613031072085103837505101157477041718986106873969655212671546889570350354...
더 자세한 수치를 보고싶은 사람은 여기로. 100만 자리까지 기록되어있다. 1 정의[편집]
2 값[편집]
3 성질[편집]
일부 성질은 정의와 겹친다.
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}e^x=e^x }[/math]
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_1^e\frac{1}{x}\mathrm{dx}=1 }[/math]
- 초월수
- [math]\displaystyle{ e }[/math]의 발견은 원주율보다 한참 늦었지만, [math]\displaystyle{ e }[/math]가 초월수임은 원주율이 초월수라는 것보다 먼저 증명되었다.
- 모든 양수 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\lt e\lt \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1} }[/math]
- 첫 번째 부등식은 [math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math]가 수렴함을 증명하는 과정에서 유도된다.
- 모든 실수
[math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ e^x\geq x+1 }[/math]
- 미분을 이용하자.
- [math]\displaystyle{ \displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} }[/math]
- [math]\displaystyle{ e^{ix}=\cos x+i\sin x }[/math]
- 오일러의 공식이라 부르는 그것. 여기에 [math]\displaystyle{ x=\pi }[/math]를 넣으면 그 유명한 [math]\displaystyle{ e^{i\pi}+1=0 }[/math]이 나온다.
- [math]\displaystyle{ \left(\cos x+i\sin x\right)^n=e^{inx}=\cos{nx}+i\sin{nx} }[/math]
- 드 므아부르 정리
4 생성함수의 예[편집]
[math]\displaystyle{ e = \sum_{n=0}^{\infty} {{1}\over{n!}} = {{1}\over{0!}}+ {{1}\over{1!}}+ {{1}\over{2!}}+ {{1}\over{3!}}+ {{1}\over{4!}} \cdots }[/math]팩토리얼(!)과의 관계를 확인할수있다.
5 각주
- ↑ 오일러-마스케로니 상수와 같은 오일러의 이름이 붙은 다른 수들과 혼동될 수 있다는 단점이 있다.
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