일차식 덧셈 뺄셈 - ilchasig deos-sem ppaelsem

공부하는 게 하나씩 늘어나고 있네요.

왜냐하면, 이 단원이 앞으로 배울 수학에서 아주 기본이 되는 중요한 단원이에요. 앞으로 여러 가지 식을 공부할 텐데, 가장 기본이 되는 식을 배우는 과정이라서 용어도 많고, 지루한 내용이 계속되는 거예요.

하지만 기본이 되느니만큼 제대로만 해놓는다면 앞으로의 과정도 계속 헤쳐나갈 수 있는 거지요.

일차식의 곱셈과 나눗셈을 먼저 했는데, 이 글에서는 일차식의 덧셈과 뺄셈을 합니다. 그리고 동류항이라는 새로운 용어도 배울 거고요.

곱셈과 나눗셈보다는 조금 어려운 내용이니 주의해서 잘 보세요.

동류항, 동류항의 계산

동류항

동류항은 종류가 같은 항이라는 뜻이에요. 어떤 종류가 같다는 말일까요?

하나의 항에는 계수도 있고, 문자도 있고, 차수도 있어요. 동류항은 문자와 차수가 서로 같은 항을 말해요. 계수는 달라도 상관없어요.

2a2이라는 항이 있어요. 이 항에는 문자 a가 있고, 차수는 2에요. 3a2이라는 항도 문자 a가 있고, 차수가 2죠. 2a2과 3a2은 문자가 a로 같고, 차수도 2로 같아요. 그래서 이 두 항은 동류항이 되는 거죠.

4a라는 항은 문자가 a가 있어요. 하지만 차수가 1이라서 2a2과 동류항이 아니에요.

5b2을 보죠. 문자는 b고, 차수는 2에요. 2a2과 차수는 2로 같지만, 문자가 다르니까 동류항이라고 할 수 없어요.

6a2b를 보죠. 문자는 a와 b가 있어요. a의 차수는 2이고, b의 차수는 1이죠. 2a2는 차수가 2인 문자 a가 있어요. 6a2b에도 차수가 2인 문자 a가 있어서 둘은 동류항처럼 보이지만 b라는 문자가 있어서 동류항이 될 수 없어요.

동류항의 덧셈과 뺄셈

덧셈과 뺄셈은 동류항끼리만 할 수 있어요. 동류항이 아닌 것끼리는 덧셈과 뺄셈을 하지 못합니다. 그러니까 계산을 할 때, 서로 동류항인지 잘 찾아내야 해요.

2a + 3a을 구해볼까요?

되게 복잡하죠. 간단하게 하는 방법을 알아볼까요?

단항식과 수의 곱셈과 나눗셈에서 단항식에 수를 곱할 때, 숫자끼리 곱하고 문자는 뒤에 붙여줬어요. 동류항의 계산에서도 같아요. 동류항의 계산에서도 숫자끼리 계산하고, 문자는 뒤에 그대로 붙여주면 돼요.

2a + 3a = (2 + 3)a = 5a 으로 간단하게 끝나죠?

뺄셈도 마찬가지예요. 5b - 2b = (5 - 2)b = 3b에요.

2a2 + 2a는 어떨까요? 두 항은 문자가 a로 같지만, 차수가 다르죠? 그래서 동류항이 아니에요. 동류항이 아니면 덧셈을 할 수 없어요. 그냥 그대로 둬야 해요.

동류항: 문자와 차수가 서로 같은 항
동류항의 계산: 숫자끼리 계산하고 문자는 그대로

다음을 간단히 하여라.
(1) 4a + 2a + 3a
(2) 5a + 3 + 3a - 4

덧셈과 뺄셈에서는 동류항을 찾는 게 제일 먼저 해야 할 일이에요. 동류항을 찾아서 그 계수끼리 연산을 하는 거지요.

(1)은 모든 항이 문자가 a이고, 차수가 1이에요. 세 항이 모두 동류항이죠.
4a + 2a + 3a = (4 + 2 + 3)a = 9a

(2) 항이 네 개인데, 5a와 3a가 동류항이고, 3와 -4가 상수항으로 동류항이에요. 따로따로 계산해야 해요.
5a + 3 + 3a - 4 = (5 + 3)a + (3 - 4) = 8a - 1

일차식의 덧셈과 뺄셈

일차식의 덧셈과 뺄셈에도 동류항 계산을 그대로 사용하면 돼요. 대신 항의 수가 늘어나고 조금 어려워졌어요.

괄호가 있는 경우

괄호가 있는 경우에는 분배법칙을 이용하는 전개해야 해요. 분배법칙으로 괄호를 전개한 다음 동류항끼리 모아서 따로 계산하는 거죠.

3(2a + 4) + 2(a - 1)
= 6a + 12 + 2a - 2     분배법칙을 이용하여 괄호를 전개
= 6a + 2a + 12 - 2     동류항끼리 모으기
= 8a + 10                  계산

분배법칙을 할 때 괄호 앞의 숫자를 괄호 안의 모든 항과 곱해줘야 해요. 첫 번째 항에만 곱해주는 실수를 하지 마세요.

3(2a + 4) = 6a + 4   (X)
3(2a + 4) = 6a + 12  (O)

그리고 괄호 앞에 숫자가 없이 부호(+, -)만 있다면 1이 생략된 거로 생각하면 됩니다.

-(2a + 1) = (-1) × (2a + 1) = -2a - 1

분수꼴의 일차식의 덧셈과 뺄셈

분수꼴로 되어 있을 때는 통분을 해야 해요.

통분을 할 때 원래 있던 분자에 괄호를 치세요. 괄호를 이용하지 않으면 분자의 첫 번째 항에만 곱을 해주는 실수를 하게 되거든요. 위 예제의 두 번째 줄의 분자에 3(a + 1) 가 아니라 3a + 1로 쓰게 되면 결과가 달라지겠죠?

일차식의 덧셈과 뺄셈
괄호가 있는 계산: 분배법칙으로 전개한 후, 동류항끼리 묶어서 계산
분수꼴: 통분을 해야 하며, 이때 괄호를 이용

다음을 간단히 하여라.
(1) 3(a + 1) + 2(a - 2)
(2)

(1) 일차식의 덧셈과 뺄셈에서는 분배법칙을 이용해서 괄호를 전개한 후 동류항끼리 모아서 따로 계산합니다.
3(a + 1) + 2(a - 2)
= 3a + 3 + 2a - 4
= 3a + 2a + 3 - 4
= 5a - 1

(2) 분수꼴에서는 통분을 해야 하는데, 이때 원래 있던 분자에는 괄호를 꼭 치세요.

이 문제에서는 두 가지가 중요해요. 통분할 때 분자에 괄호를 쳐주는 것도 중요하지만 분수 앞의  (-)를 처리하는 것도 중요하죠. 분수 앞에 (-)도 역시 분배법칙을 이용해서 분자 전체에 곱해줘야 하는 (-)입니다.

두 번째 줄의 오른쪽 분수의 분자에서 -b - 3이라고 실수하지 말고, 괄호를 쳐서 -(b - 3)으로 쓰도록 하세요.

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동류항과 동류항의 덧셈, 뺄셈

• 동류항: 문자와 차수가 같은 항
• 동류항의 덧셈과 뺄셈: 숫자끼리 계산하고 문자는 그대로.
• 동류항이 아니면 덧셈과 뺄셈을 할 수 없음.

일차식의 덧셈과 뺄셈

• 괄호가 있는 식: 분배법칙으로 전개한 후 동류항끼리 계산
• 분수꼴: 분모를 통분. 통분할 때 분자에 괄호 이용

먼저 이전 글에서는 일차식의 곱셈과 나눗셈하는 법을 알아보았는데, 일차식의 곱셈과 나눗셈은 그냥 숫자끼리 곱하거나 나눠주면 된다고 했었다. 하지만 일차식의 덧셈과 뺄셈은 이렇게 계산하면 안 되는데, 예를 들어 2a+3이 있다고 해보자. 그럼 그냥 숫자끼리 서로 더해보면 5a가 나오는데, 이 5a는 틀린 값이다.

그런데 5a가 틀린 값인지는 어떻게 알까? 그것은 a에 특정 값을 대입해보면 알 수 있는데, 일단 a=4라고 가정을 한 다음, 5a에 4를 대입하면 20이라는 엉뚱한 값이 나오는 것을 알 수 있다. 그래서 일차식의 덧셈과 뺄셈은 그냥 숫자끼리 더하거나 빼줘서는 안 된다.

다음으로 문자를 통일한 2a+3a가 있다고 해보자. 그럼 먼저 생략된 곱셈기호를 다시 살려주면 2×a+3×a가 나오는데, 곱셈은 덧셈으로 바꿀 수가 있기에, 수식을 (a+a)+(a+a+a)라고 나타낼 수 있다. 그럼 최종적으로 a가 5개 있으므로, 5a가 되는 것을 알 수 있다.(특정 값을 대입해보면, 정확한 값이 나올 것이다)

그래서 일차식의 덧셈과 뺄셈은 문자가 서로 같을 때만숫자끼리 더하거나 빼줄 수 있다.(문자가 서로 같은 것을, 보통 “동류항”이라고 부른다) 그런데 “문자가 서로 같을 때만”이라는 조건이 들어가기에, 일차식의 곱셈과 나눗셈하는 법보다는 약간 복잡할 수도 있다. 하지만 계산하는 것이 익숙해지면, 어차피 다 거기서 거기다. 몇 가지 예를 들면 아래와 같다.

그리고 곱셈이랑 섞여 있는 경우에는, 곱셈을 먼저 한 후덧셈과 뺄셈을 하면 된다.(괄호로 묶여 있는 경우가 많은데, 이럴 때는 분배법칙을 활용한다) 왜냐하면 혼합계산에서는 정확한 값을 얻기 위해서 곱셈을 먼저 하기 때문이다.(참고)

추가로 분수도 “문자가 서로 같을 때만” 숫자끼리 더하거나 빼줄 수 있다. 다만 분수는 통분을 해야 하므로, 계산하기가 귀찮기는 할 것이다. 그럼 다음 글에서는 문제풀이를 해보자.