u를 종속변수, x와 y를 독립변수로 놓으면
일반적인 선형 2계 편미분방정식(linear second-order partial differential equation)은
다음과 같은 형태로 주어진다.
(A, B, C, …, G는 상수이거나 x와 y의 함수이다.)
이전까지는 이 방정식의 특수한 형태로
열방정식, 파동방정식, Laplace 방정식 등을 다뤘다.
이번에는 이들 경우보다 조금 일반적인 형태의 문제를 다룬다.
u(x, t)=X(x)T(t)로 두고 변수를 분리하면
여기서 먼저 다음 방정식을 얻을 수 있다.
이 식의 보조방정식은 m²+2m+λ=0이다.
보조방정식의 해는 다음과 같이 표현된다.
λ가 어떤 값을 취하느냐에 따라
X가 결정될 것이고,
경계조건과 함께 명시하면 다음과 같다.
[1] λ=1
m=-1로 중근이 되어
X는 다음과 같은 해를 갖는다.
x=0에서의 조건에 의하여 c₁=0이 된다.
x=π에서의 조건에 의하여 c₂도 0이 된다.
따라서 이 경우엔 X=0이라는 자명한 해만 얻는다.
[2] λ=1-α², α>0
m=-1±α로 서로 다른 실근이 되어
X는 다음과 같은 해를 갖는다.
x=0에서의 조건에 의하여 c₁+c₂=0, c₁=-c₂가 된다.
X에서 c₁ 대신에 -c₂를 대입하고
x=π에서의 조건을 이용하면
c₂≠0일 경우 마지막 등식을 만족시킬
양수 α는 존재하지 않는다.
즉 c₂=0으로 둘 수밖에 없고 c₁ 역시 0이 된다.
이 경우 역시 X=0이라는 자명한 해만 얻는다.
[3] λ=1+α², α>0
m=-1±αi로 켤레복소근이 되어
X는 다음과 같은 해를 갖는다.
x=0에서의 조건에 의하여 c₁=0이 된다.
x=π에서의 조건을 이용하면
α가 다음을 만족하면 c₂≠0으로 둘 수 있다.
따라서 자명하지 않은 해를 얻을 수 있다.
(1)에서 T에 관한 다음 상미분방정식을 얻을 수 있다.
위에서 구한 고유값을 대응시키면
이 식의 보조방정식은 m²+2m+(2+n²)=0이다.
보조방정식의 해는 다음과 같이 표현된다.
정수 n이 어떤 값을 취하느냐에 상관없이
항상 켤레복소근이 된다.
따라서 해의 형태는 다음과 같다.
마지막 조건은 T'(0)=0을 의미한다.
이 식을 t에 대하여 미분하면
t=0에서의 조건을 이용하면
따라서 T는 다음과 같다.
따라서 구하는 급수해는 다음과 같다.